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如圖，⊙O的直徑DF與弦AB交于點E，C為⊙O外一點，CB⊥AB于點B，G是直線CD上一點，∠ADG=∠ABD，AD∥CE．
（1）求證：AD•CE=DE•DF．
（2）若∠DAE=30°，BC=2，AD=
5
2
，AE：BE=2：3，求
BD
的長．
（1）證明：連接AF，OB，
∵DF是⊙O的直徑，
∴∠DAF=90°，
∵∠ADG=∠ABD，
而∠F=∠ABD．
∴∠ADG=∠F，
∵∠F+∠1=90°，
∴∠ADG+∠1=90°，
∴CG是⊙O的切線．
∴∠CDE=90°，
∵AD∥CE，
∴∠1=∠2，
∴△ADF∽△DEC，
∴
AD
DF
=
DE
CE
，
即AD•CE=DE•DF．

（2）∵AD∥CE，∠DAE=30°，
∴∠CEB=∠DAE=30°，
在Rt△EBC中，∵BC=2，
∴CE=4，BE=2
3
，
∵AE：BE=2：3，
∴AE=
4
3
3
，
設DE=x，DF=y
∵AD•CE=DE•DF，AD=
5
2
，
∴xy=10，
∵由AE•BE=DE•EF，得
4
3
3
×2
3
=x（y-x），
解得x2=2，
x=
2
，
∴y=5
2
，
連接OB，于是∠DOB=60°，
∴
BD
的長為
60π×
5
2
2
180
=
5
2
π
6
，
答：
BD
的長為
5
2
π
6
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，△ABC中，∠A=60°，BC=6，它的周長為16．若⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F，D點，則DF的長為（　�。�
A．2B．3C．4D．6

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：填空題

設計一把直尺ABC，BC在地面上，AB與地面垂直，并且AB=10cm，移動一個半徑不小于10cm的圓形輪子，使輪子緊靠A點，且與BC相切于D點（如圖）．設計要求在D處的刻度恰好顯示這個輪子的半徑（以厘米為單位）．那么，當BC的長度為1M時，BC上可標出的最大刻度是______．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，A、B是⊙O上的兩點，AC是⊙O的切線，∠OBA=75°，⊙O的半徑為1，則OC的長等于（　�。�
A．
3
2
B．
2
2
C．
2
3
3
D．
2

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點A、B、C分別是⊙O上的點，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的點，且AP=AC．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）若AC=3，求PD的長．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：單選題

在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切，且AB=8，兩個圓的半徑相差2，那么大圓的直徑為（　�。�
A．3B．5C．6D．10

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，連接BC，若∠A=36°，則∠C=______．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖：在△ABC中，∠ABC=30°，BC=4
3
，AB=4，以AB長為直徑作⊙O交BC于點D．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）過點D作DE⊥AC，垂足為點E，求證：直線DE是⊙O的切線．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是AB延長線上一點，CD切半圓于D，DE⊥AB于E．已知AE：EB=4：1，CD=2，求BC的長．

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