Question

12．已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是邊BC上的高，G是AD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CG，點(diǎn)E、F分別是AB、CG的中點(diǎn)，且DE=DF．求證：△ABD≌△CGD．

Answer 1

分析 先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得到AB=GC，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得到AD=CD，最后判定Rt△ABD≌Rt△CGD即可．

解答 證明：∵AD是邊BC上的高，點(diǎn)E、F分別是AB、CG的中點(diǎn)，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$GC，
∵DE=DF，
∴AB=GC，
∵∠ACB=45°，AD是邊BC上的高，
∴∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
在Rt△ABD和Rt△CGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{AB=CG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△CGD（HL）．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定方法，證明時(shí)注意：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)．