Question

2．如圖①在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于點(diǎn)D，
（1）把Rt△DBC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，請(qǐng)畫(huà)出△EDF，連接AE，BE，并求∠AEB的度數(shù)．
（2）如圖②，把Rt△DBC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜90°），點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，連接CE，CD，求出∠AEC的度數(shù)，并寫(xiě)出線段AE、BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，不證明．
（3）如圖②，在（2）的條件下，連接CD交AE于點(diǎn)G，若BC=2$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，α=60°，則CG=1+$\sqrt{3}$．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不用證明）

Answer 1

分析 （1）先畫(huà)出△DEF，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得CD=$\frac{1}{2}$AB，則DE=$\frac{1}{2}$AB=BD=AD，∠AEB=90°；
（2）①利用四點(diǎn)共圓得∠AEC=∠ABC=45°；②作輔助線構(gòu)建等腰直角三角形，證明△ACH≌△BCE，得AH=BE，EC=CH，則△CEH是等腰直角三角形，得結(jié)論；
（3）過(guò)G作GH⊥ED，設(shè)DG=x，利用直角三角形30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半與勾股定理表示出AH、DH的長(zhǎng)，利用AD=CD的長(zhǎng)得結(jié)論．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，AC=BC，
∴AD=BD，
∵∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD，
∴ED=AD=BD，
∴∠DBE=∠DEB，∠AED=∠DAE，
∴∠AED+∠DEB=∠ABE+∠BAE=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠AEB=90°；
（2）如圖2，∠BEA=∠BCA=90°，
∴B、E、C、A四點(diǎn)共圓，
∴∠AEC=∠ABC=45°，
AE-$\sqrt{2}$CE=BE，理由是：
過(guò)C作CH⊥CE，交AE于H，則∠ACH=∠ECB，
∵∠ACH=∠ECH+∠AEC=90°+45°=135°，
∠BEC=∠AEB+∠AEC=90°+45°=135°，
∴∠ACH=∠BEC，
∵AC=BC，
∴△ACH≌△BCE，
∴AH=BE，EC=CH，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴EH=$\sqrt{2}$EC，
∴BE=AH=AE-EH=AE-$\sqrt{2}$EC；
（3）如圖3，過(guò)G作GH⊥ED，交AD于H，則∠DGH=∠EDC=60°，
∴∠DHG=30°，
設(shè)DG=x，則GH=AH=2x，DH=$\sqrt{3}$x，
Rt△ADC中，AC=$\sqrt{2}$AD，
∴2$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}x+2x$），
∴x=1，
∴CG=2x+$\sqrt{3}x-x$=2+$\sqrt{3}$-1=1+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四點(diǎn)共圓與幾何變換的綜合題，考查了等腰直角三角形、全等三角形與四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與判定，尤其是四點(diǎn)共圓在幾何中應(yīng)用不多，要理解并掌握；對(duì)于直角三角形中30°的應(yīng)用是�？碱}型，其與邊的關(guān)系要熟練掌握．