Question

已知整數(shù)m滿足6＜m＜20，如果關于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0有有理根，求m的值及方程的根．

Answer 1

解：根據(jù)題意得，m≠0，若方程有有理根，則△為完全平方數(shù)．
∵△=（2m-1）²-4m×（m-2）=4m+1，
又∵整數(shù)m滿足6＜m＜20，
∴4m+1=49，即m=12．
則原方程變?yōu)椋?2x²-23x+10=0，
∴x==，
∴x₁=，x₂=．
故m=12，此時方程的解為x₁=，x₂=．
分析：由題意得m≠0，若關于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0有理根，則△≥0，并且△為完全平方數(shù)．而△=（2m-1）²-4m×（m-2）=4m+1，整數(shù)m滿足6＜m＜20，通過分析可得4m+1只能為49，這樣求的m的值，然后代入方程，最后解方程即可．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根為有理根的條件判別式為完全平方數(shù)．