Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的點，且CE=CF，連接AE，AF，取AE的中點M，EF的中點N，連接BM，MN．

（1）請判斷線段BM與MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并予以證明．

（2）如圖2，若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BM=MN，BM⊥MN，證明見解析；（2）仍然成立，證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)已知正方形ABCD的邊角相等關(guān)系，推出△ABE≌△ADF(SAS)，得出AE=AF，利用MN是△AEF的中位線，BM為Rt△ABE的中線，可得BM=MN，由外角性質(zhì)，得出∠BME=∠1+∠3，再由MN∥AF，∠1+∠2+∠EAF=∠BAD=90°，等角代換可推出結(jié)論；

（2）同（1）思路一樣，證明△ABE≌△ADF(SAS)，利用外角性質(zhì)和中位線平行關(guān)系，通過等角代換即得證明結(jié)論．

（1）BM=MN，BM⊥MN．

證明：在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=BC=DC，

∵CE=CF，

∴BC-CE=DC-CF，

∴BE=DF，

∴△ABE≌△ADF(SAS)，

∴∠1=∠2，AE=AF，

∵M為AE的中點，N為EF的中點，

∴MN是△AEF的中位線，BM為Rt△ABE的中線．

∴MN∥AF，MN=AF，BM=AE=AM，

∴BM=MN，∠EMN=∠EAF，

∵BM=AM，

∴∠1=∠3， ∠2=∠3，

∴∠BME=∠1+∠3=∠1+∠2，

∴∠BMN=∠BME+∠EMN=∠1+∠2+∠EAF=∠BAD=90°，

∴BM⊥MN．

故答案為：BM=MN，BM⊥MN．

（2）（1）中結(jié)論仍然成立．

證明：在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=BC=DC，

∴∠ABE=∠ADF=90°，

∵CE=CF，∴CE-BC=CF-DC，∴BE=DF，

∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠1=∠2，AE=AF，

同理（1）得MN∥AF，MN=AF，BM=AE=AM，

∴BM=MN，

同理（1）得∠BME=∠1+∠2，∠EMN=∠EAF，

∴∠BMN=∠EMN-∠BME=∠EAF-(∠1+∠2)=∠BAD=90°，

∴BM⊥MN，

故答案為：結(jié)論仍成立．