Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx﹣3過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），點(diǎn)M、N為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E．過點(diǎn)N作NF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F

(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的表達(dá)式；

(2)若M點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，且四邊形MNFE為正方形，求該正方形的面積；

(3)若M點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸左側(cè)的點(diǎn)，且∠DMN=90°，MD=MN，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣2x﹣3； (2) 正方形的面積為24+8或24﹣8； (3) 點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣1或．

【解析】

（1）把A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx﹣3，利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），則m＞1，分別表示出ME=|﹣m2+2m﹣3|、MN=2m﹣2，由四邊形MNFE為正方形知ME=MN，據(jù)此列出方程，分類討論求解可得m的值，進(jìn)而求出正方形的面積；（3）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，t2﹣2t﹣3），則t＜1，則點(diǎn)N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），點(diǎn)D（t，t﹣3），由MD=MN列出方程，根據(jù)點(diǎn)M的位置分類討論求解可得．

(1)把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3，

得：，

解得，

故該拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3；

(2)由(1)知，拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴該拋物線的對(duì)稱軸是x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）．

如圖，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞1，

∴ME=|﹣m2+2m+3|，

∵M、N關(guān)于x=1對(duì)稱，且點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)，

∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2﹣m，

∴MN=2m﹣2，

∵四邊形MNFE為正方形，

∴ME=MN，

∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，

分兩種情況：

①當(dāng)﹣m2+2m+3=2m﹣2時(shí)，解得：m1=、m2=﹣（不符合題意，舍去），

當(dāng)m=時(shí)，正方形的面積為（2﹣2）2=24﹣8；

②當(dāng)﹣m2+2m+3=2﹣2m時(shí)，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合題意，舍去），

當(dāng)m=2+時(shí)，正方形的面積為[2（2+）﹣2]2=24+8；

綜上所述，正方形的面積為24+8或24﹣8．

(3)設(shè)BC所在直線解析式為y=px+q，

把點(diǎn)B（3，0）、C（0，﹣3）代入表達(dá)式，

得：，解得： ，

∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x﹣3，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，t2﹣2t﹣3），其中t＜1，

則點(diǎn)N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），點(diǎn)D（t，t﹣3），

∴MN=2﹣t﹣t=2﹣2t，MD=|t2﹣2t﹣3﹣t+3|=|t2﹣3t|．

∵MD=MN，

∴|t2﹣3t|=2﹣2t，

分兩種情況：

①當(dāng)t2﹣3t=2﹣2t時(shí)，解得t1=﹣1，t2=2（不符合題意，舍去）．

②當(dāng)3t﹣t2=2﹣2t時(shí)，解得t3=，t2=（不符合題意，舍去）．

綜上所述，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣1或．