Question

【題目】如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿著CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．

（1）x為何值時(shí)，PQ∥BC；

（2）是否存在某一時(shí)刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

Answer 1

【答案】（1）即當(dāng)x＝時(shí)，PQ∥BC；（2）綜上所述，當(dāng)AP的長(zhǎng)為cm或20 cm時(shí)，△APQ與△CQB相似．

【解析】

(1)當(dāng)PQ∥BC 時(shí),根據(jù)平行線分線段成比例定理,可得出關(guān)于AP,PQ,AB,AC的比例關(guān)系式,我們可根據(jù)P,Q的速度,用時(shí)間x表示出AP,AQ,然后根據(jù)得出的關(guān)系式求出x的值.
(2)本題要分兩種情況進(jìn)行討論.已知了∠A 和∠C 對(duì)應(yīng)相等,那么就要分成AP和CQ對(duì)應(yīng)成比例以及AP和BC對(duì)應(yīng)成比例兩種情況來(lái)求x的值.

解：(1)∵PQ∥BC，∴∠AQP＝∠C.

又∵∠A＝∠A，

∴△APQ∽△ABC，

∴＝，

即＝，

解得x＝.

即當(dāng)x＝時(shí)，PQ∥BC.

(2)能相似．

∵AB＝BC，

∴∠A＝∠C，

∴△APQ和△CQB相似可能有以下兩種情況：

①△APQ∽△CQB，可得＝，

即＝，

解得x＝.

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝是上述方程的解．

∴當(dāng)AP＝4x＝cm時(shí)，△APQ∽△CQB；

②△APQ∽△CBQ，可得＝，

即＝，

解得x＝5或x＝－10(舍去)．

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝5是上述方程的解．

∴當(dāng)AP＝4x＝20 cm時(shí)，△APQ∽△CBQ.

綜上所述，當(dāng)AP的長(zhǎng)為cm或20 cm時(shí)，△APQ與△CQB相似．