Question

（1997•四川）如圖，M（a，a+1）是對稱軸平行于y軸的拋物線上的一點，a和a+1是斜邊上的中線等于

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2

的直角三角形的兩條直角邊的長，A是拋物線和x軸的交點，且OA=10k，1＜k＜6，k是整數(shù)，關于x的方程x²-2（k-1）x+k²-4=0的兩根也是整數(shù)．
（1）求點M和A的坐標；
（2）求這段拋物線OMA的解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）求這段拋物線OMA上的點的最大縱坐標．

Answer 1

分析：（1）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出斜邊的長，由a與a+1為兩直角邊，利用勾股定理列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出M坐標，利用配方法表示出已知方程的解，根據(jù)方程的解為整數(shù)，確定出k的值，即可確定出A的坐標；
（2）設這段拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（0≤x≤20），將O，A，M坐標代入得到關于a，b及c的方程組，求出方程組的解得到a，b及c的值，確定出拋物線解析式，求出自變量范圍即可；
（3）這段拋物線點的最大縱坐標即為頂點縱坐標，利用頂點坐標公式求出即可．

解答：解：（1）由題意得：a²+（a+1）²=（2×

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）²，
整理，得：a²+a-30=0，
解得：a₁=5，a₂=-6，
∵點M在一象限，
∴a₂=-6應舍去，
把a₁=5代入a+1=6，可得點M（5，6），
解方程x²-2（k-1）x+k²-4=0，得：x=k+1±

2k+5

，
∵方程的兩根是整數(shù)，
∴2k+5是一個完全平方數(shù)，
設2k+5=m²（m為整數(shù)），則k=

m2-5

2

，
∴1＜k＜6，即1＜

m2-5

2

＜6，
解得：7＜m²＜17，
∵2k+5是奇數(shù)，
∴m²=9，即2k+5=9，
解得：k=2，
∴OA=10k=20，
∴點A的坐標為（20，0）；

（2）設這段拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（0≤x≤20），
由O（0，0）、M（5，6）、A（20，0）三點在這段拋物線上，
可得

c=0 25a+5b+c=6 400a+20b+c=0

，
解得：a=-

2

25

，b=

8

5

，c=0，
則這段拋物線解析式為y=-

2

25

x²+

8

5

x（0≤x≤20）；

（3）∵這段拋物線的頂點的縱坐標最大，
∴最大縱坐標為y=

4ac-b2

4a

=

4×(- 2 25 )×0-( 8 5 )2

4×(- 2 25 )

=8．

點評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：直角三角形斜邊上的中線性質，勾股定理，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的頂點坐標，弄清題意是解本題的關鍵．