Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA=4，OC=3，且頂點(diǎn)A、C均在坐標(biāo)軸上，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng)；點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CB向終點(diǎn)B以同樣的速度移動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒（0＜x＜4）時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC交BO于點(diǎn)P，連接MP．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含x的式子表示）；
（2）設(shè)△OMP的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式；若存在最大值，求出S的最大值；
（3）在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使△OMP時(shí)等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形OABC中OA=4，OC=3以及矩形的性質(zhì)，得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再由PG∥AB，得出△OPG∽△OBA，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用PG以及OM的長(zhǎng)表示出△OMP的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可；
（3）△OMP是等腰三角形時(shí)，分三種情況：①PO=PM；②OP=OM；③OM=PM．畫(huà)出圖形，分別求出即可．

解答 解：（1）∵矩形OABC中，OA=4，OC=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）．
如圖，延長(zhǎng)NP，交OA于點(diǎn)G，則PG∥AB，OG=CN=x．
∵PG∥AB，
∴△OPG∽△OBA，
∴$\frac{PG}{AB}$=$\frac{OG}{OA}$，即$\frac{PG}{3}$=$\frac{x}{4}$，
解得：PG=$\frac{3}{4}$x，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，$\frac{3}{4}$x）；

（2）∵在△OMP中，OM=4-x，OM邊上的高為$\frac{3}{4}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$（4-x）•$\frac{3}{4}$x=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x，
∴S與x之間的函數(shù)表達(dá)式為S=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x（0＜x＜4）．
配方，得S=-$\frac{3}{8}$（x-2）²+$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值，最大值為$\frac{3}{2}$；

（3）存在某一時(shí)刻，使△OMP是等腰三角形．理由如下：
①如備用圖1，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AO于點(diǎn)G，
若PO=PM，則OG=GM=CN=x，
即3x=4，
解得：x=$\frac{4}{3}$；

②如備用圖2，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AO于點(diǎn)G，
若OP=OM，CN=x，則OP=4-x，
由勾股定理，得OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵NP∥OC，
∴$\frac{OP}{OB}$=$\frac{CN}{CB}$，
即$\frac{OP}{5}$=$\frac{x}{4}$，
∴OP=$\frac{5}{4}$x，
即$\frac{5}{4}$x=4-x，
解得：x=$\frac{16}{9}$，

③如備用圖3，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥OA，垂足為Q，
若OM=PM時(shí)，則PM=OM=4-x，OQ=CN=x，
則MQ=2x-4，
在Rt△MPQ中，
PQ²+QM²=MP²，
即（$\frac{3}{4}$x）²+（2x-4）²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{128}{57}$，
綜上所述，當(dāng)x的值為$\frac{4}{3}$秒或$\frac{16}{9}$秒或$\frac{128}{57}$秒時(shí)，△OMP是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論以及方程思想是解題的關(guān)鍵．