Question

9．在直角坐標(biāo)系中，⊙C過(guò)原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)A（2，0），交y軸于點(diǎn)B（0，$2\sqrt{3}$）．
（1）求圓心C的坐標(biāo)．
（2）拋物線y=ax²+bx+c過(guò)O，A兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在正比例函數(shù)$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$的圖象上，求拋物線的解析式．
（3）過(guò)圓心C作平行于x軸的直線DE，交⊙C于D，E兩點(diǎn)，試判斷D，E兩點(diǎn)是否在（2）中的拋物線上．
（4）若（2）中的拋物線上存在點(diǎn)P（x₀，y₀），滿(mǎn)足∠APB為鈍角，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖線段AB是圓C的直徑，因?yàn)辄c(diǎn)A、B的坐標(biāo)已知，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）因?yàn)閽佄锞�過(guò)點(diǎn)A、O，所以可求得對(duì)稱(chēng)軸，即可求得與直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x的交點(diǎn)，即是二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式或者一般式，采用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（3）因?yàn)镈E∥x軸，且過(guò)點(diǎn)C，所以可得D、E的縱坐標(biāo)為 $\sqrt{3}$，求得直徑AB的長(zhǎng)，可得D、E的橫坐標(biāo)，代入解析式即可判斷；
（4）因?yàn)锳B為直徑，所以當(dāng)拋物線上的點(diǎn)P在⊙C的內(nèi)部時(shí)，滿(mǎn)足∠APB為鈍角，所以-1＜x₀＜0，或2＜x₀＜3．

解答 解：（1）∵⊙C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O
∴AB為⊙C的直徑
∴C為AB的中點(diǎn)
過(guò)點(diǎn)C作CH垂直x軸于點(diǎn)H，則有CH=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，OH=$\frac{1}{2}$OA=1
∴圓心C的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）．

（2）∵拋物線過(guò)O、A兩點(diǎn)，
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
∵拋物線的頂點(diǎn)在直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
把這三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+bx+c，得 $\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{a+b+c=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{c=O}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x．

（3）∵OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，即⊙C的半徑r=2，
∴D（3，$\sqrt{3}$），E（-1，$\sqrt{3}$），
代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x檢驗(yàn)，知點(diǎn)D、E均在拋物線上．

（4）∵AB為直徑，
∴當(dāng)拋物線上的點(diǎn)P在⊙C的內(nèi)部時(shí)，滿(mǎn)足∠APB為鈍角，
∴-1＜x₀＜0，或2＜x₀＜3．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓與二次函數(shù)的綜合知識(shí)，考查了待定系數(shù)法，考查了圓的性質(zhì)，考查了二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性等，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題．．