Question

（2013•貴港）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，以點(diǎn)D為圓心、DC為半徑作

AC

，點(diǎn)E在AB上，且與A、B兩點(diǎn)均不重合，點(diǎn)M在AD上，且ME=MD，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ME，交BC于點(diǎn)F，連接DE、MF．
（1）求證：EF是

AC

所在⊙D的切線；
（2）當(dāng)MA=

3

4

時(shí)，求MF的長(zhǎng)；
（3）試探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，請(qǐng)直接寫(xiě)出MF的長(zhǎng)度；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥EF于G，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠MDE=∠MED，然后根據(jù)等角的余角相等求出∠AED=∠GED，再利用“角角邊”證明△ADE和△GDE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=GD，再根據(jù)切線的定義即可得證；
（2）求出ME=MD=

5

4

，然后利用勾股定理列式求出AE，再求出BE，根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠3，然后求出△AME和△BEF相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出EF，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；
（3）假設(shè)△MFE能是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得ME=EF，先利用“角角邊”證明△AME和△BEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)邊角相等可得AM=BE，設(shè)AM=BE=x，然后表示出MD，AE，再根據(jù)ME=MD，從而得到ME=AE，根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可知△MEF不可能是等腰直角三角形．

解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥EF于G，
∵M(jìn)E=MD，
∴∠MDE=∠MED，
∵EF⊥ME，
∴∠DEM+∠GED=90°，
∵∠DAB=90°，
∴∠MDE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠GED，
∵在△ADE和△GDE中，

∠AED=∠GED ∠DAE=∠DGE=90° DE=DE

，
∴△ADE≌△GDE（AAS），
∴AD=GD，
∵

AC

的半徑為DC，即AD的長(zhǎng)度，
∴EF是

AC

所在⊙D的切線；

（2）MA=

3

4

時(shí)，ME=MD=2-

3

4

=

5

4

，
在Rt△AME中，AE=

ME2-MA2

=

( 5 4 )2-( 3 4 )2

=1，
∴BE=AB-AE=2-1=1，
∵EF⊥ME，
∴∠1+∠2=180°-90°=90°，
∵∠B=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠DAB=∠B=90°，
∴△AME∽△BEF，
∴

MA

BE

=

ME

EF

，
即

3 4

1

=

5 4

EF

，
解得EF=

5

3

，
在Rt△MEF中，MF=

ME2+EF2

=

( 5 4 )2+( 5 3 )2

=

25

12

；

（3）假設(shè)△MFE能是等腰直角三角形，
則ME=EF，
∵在△AME和△BEF中，

∠1=∠3 ∠MAE=∠EBF ME=EF

，
∴△AME≌△BEF（AAS），
∴MA=BE，
設(shè)AM=BE=x，
則MD=AD-MA=2-x，AE=AB-BE=2-x，
∵M(jìn)E=MD，
∴ME=2-x，
∴ME=AE，
∵M(jìn)E、AE分別是Rt△AME的斜邊與直角邊，
∴ME≠AE，
∴假設(shè)不成立，
故△MFE不能是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題型，主要考查了圓的切線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（3）證明得到直角三角形的斜邊與直角邊相等的矛盾是解題的關(guān)鍵．