Question

如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，

且△CBE≌△CDF．

（1）圖1中的△CBE可以通過怎樣的旋轉(zhuǎn)得到△CDF；

（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？

（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：

如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的長．

 

Answer 1

.(1) 的△CBE以C為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDF

（2）解：GE＝BE＋GD成立．

理由是：

∵△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF．

∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD

即∠ECF＝∠BCD＝90°，

又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG．     

∴GE＝GF．

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．

（3）解：過C作CG⊥AD，交AD延長線于G．

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，

又∠CGA＝90°，∠A＝∠CGA ，∴AB//CG

∴四邊形ABCG平行四邊形．

∵AG＝BC＝12，四邊形ABCG平行四邊形．

∴AG＝AB              根據(jù)（1）（2）可知，ED＝BE＋DG．

設(shè)DE＝x，則DG＝x－4，

∴AD＝16－x．

在Rt△AED中，   ∵，即．

解這個方程，得：x＝10．

∴DE＝10．