Question

（2010•路南區(qū)三模）如圖①，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A、B、E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．若

BD

AC

=

GE

BF

=

3

．
（1）請寫出線段PG與PC所滿足的關(guān)系；并加以證明．
（2）若將圖①中的菱形BEFG饒點B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變，如圖②．那么你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？若沒變化，直接寫出結(jié)論，若有變化，寫出變化的結(jié)果．
（3）若將圖①中的菱形BEFG饒點B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請猜想（1）中的結(jié)論有沒有變化？

Answer 1

分析：（1）可通過構(gòu)建全等三角形求解．延長GP交DC于H，可證△DHP和△PGF全等，已知的有DC∥GF，根據(jù)平行線間的內(nèi)錯角相等可得出兩三角形中兩組對應(yīng)的角相等，又有DP=PF，因此構(gòu)成了全等三角形判定條件中的（AAS），得出兩三角形全等，于是△CHG就是等腰直角三角形且CP是底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點，即可得出CP⊥PG；
（2）方法同（1），只不過△CHG是個等腰三角形，得出頂角為120°，可根據(jù)三角函數(shù)來得出PG、CP的比例關(guān)系；
（3）經(jīng)過（1）（2）的解題過程，我們要構(gòu)建出以CP為底邊中線的等腰三角形，那么可延長GP到H，使PH=PG，連接CH、DH，那么根據(jù)前兩問的解題過程，我們要求的是三角形CHG是個等腰三角形，關(guān)鍵是證△GFP≌△HDP，根據(jù)已知得出△HDC≌△GBC，然后得出即可．

解答：解：（1）延長GP交DC于H，
∵DC∥GF，
∴∠DHP=∠PGF，∠DPH=∠GPF，
∵DP=PF，
∴△DHP≌△PGF，
∴HD=GF，
∵四邊形ABCD和四邊形GFEB是菱形，
∴DC=CB，F(xiàn)G=GB，
∴DH=GB，
∴DC-DH=CB-GB，
∴CH=CG，
∴△CHG就是等腰三角形且CP是底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點，
即可得出CP⊥PG；
∴線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC；

（2）線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC；
證明：如圖②，延長GP到H，使PH=PG，
連接CH，CG，DH，
∵P是線段DF的中點，
∴FP=DP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，
∵

BD

AC

=

GE

BF

=

3

，
∴∠ADC=∠ABC=60°，∠GBF=60°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，點A、B、F又在一條直線上，
∴∠FBC=120°，
∴∠HDC=∠CBG=60°，
∵四邊形BEFG是菱形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
即在△HDC與△GBC中，

CD=BC ∠HDC=∠CBG DH=BG

，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，
即∠HCG=120°
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC．

（3）將圖①中的菱形BEFG饒點B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，
（1）中的結(jié)論沒有變化，PG⊥PC．

點評：此題主要考查了正方形，菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定等知識點，根據(jù)已知和所求的條件正確的構(gòu)建出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵．