Question

（2010•路南區(qū)三模）研究所對(duì)某種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷情況進(jìn)行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品提供了如下成果：第一年的年產(chǎn)量為x（噸）時(shí)，所需的全部費(fèi)用y（萬(wàn)元）與x滿足關(guān)系式y(tǒng)=

1

10

x2+6x+80，投入市場(chǎng)后當(dāng)年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價(jià)p_甲、p_乙（萬(wàn)元）均與x滿足一次函數(shù)關(guān)系．（注：年利潤(rùn)=年銷售額-全部費(fèi)用）
（1）成果表明，在甲地生產(chǎn)并銷售x噸時(shí)，每噸的售價(jià)p_甲（萬(wàn)元）與第一年的年產(chǎn)量為x（噸）之間大致滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．請(qǐng)你直接寫出p_甲與x的函數(shù)關(guān)系式，并用含x的代數(shù)式表示甲地當(dāng)年的年銷售額；
（2）根據(jù)題中條件和（1）的結(jié)果，求年利潤(rùn)w_甲（萬(wàn)元）與x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式和甲的最大年利潤(rùn)；
（3）成果表明，在乙地生產(chǎn)并銷售x噸時(shí)，p_乙=-

1

10

x+n（n為常數(shù)），且在乙地當(dāng)年的最大年利潤(rùn)為45萬(wàn)元．試確定n的值；
（4）受資金、生產(chǎn)能力等多種因素的影響，某投資商計(jì)劃第一年生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品18噸，根據(jù)（2）、（3）中的結(jié)果，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產(chǎn)銷才能獲得較大的年利潤(rùn)？
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象過(guò)（20，14），（40，13）運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；
（2）利用公式法直接求出最值即可；
（3）根據(jù)（1）中方法，得出w與x之間的關(guān)系，再利用最值公式求出即可；
（4）分別將x=18，代入兩解析式，即可得出兩地利潤(rùn)．

解答：解：（1）將（20，14），（40，13）代入p=kx+b，

20k+b=14 40k+b=13

，
解得：
∴p_甲=-

1

20

x+15，
∴w_甲=-

1

20

x²+15x（0≤x≤300），

（2）年利潤(rùn)w_甲（萬(wàn)元）與x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式為：
w_甲=-

1

20

x²+15x-（

1

10

x2+6x+80）
=-

3

20

x²+9x-80，
甲的最大年利潤(rùn)

4ac-b2

4a

=55（萬(wàn)元）；

（3）由題意得：w_乙=（-

1

10

x+n）x-（

1

10

x2+6x+80），
整理得：
w_乙=-

1

10

x²+nx-（

1

10

x²+6x+80）
=-

1

5

x²+（n-6）x-80．
由

4×(- 1 5 )×(-80)-(n-6) 2

4×( - 1 5 )

=45，
解得n=16或-4．
經(jīng)檢驗(yàn)，n=-4不合題意，舍去，
∴n=16．

（4）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時(shí)，年利潤(rùn)
w_乙=-

1

5

x²+10x-80，
將x=18代入上式，得w_乙=35.2（萬(wàn)元）；
將x=18代入w_甲=-

3

20

x²+9x-80，
得w_甲=33.4（萬(wàn)元）．
∵W_乙＞W(wǎng)_甲，
∴應(yīng)選乙地．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法，根據(jù)題意表示出二次函數(shù)關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．