Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠MAN始終保持45°不變．

（1）求證： = ；
（2）求證：AF⊥FM；
（3）請(qǐng)?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠BAM等于多少度時(shí)，∠FMN=∠BAM？寫(xiě)出你的探索結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，

∵∠MAN=45°，

∴∠MAF=∠MBE，

∴A、B、M、F四點(diǎn)共圓，

∴∠ABM+∠AFM=180°，

∴∠AFM=90°，

∴∠FAM=∠FMA=45°，

∴AM= AF，

（2）

證明：由（1）可知∠AFM=90°，

∴AF⊥FM

（3）

結(jié)論：∠BAM=22.5時(shí)，∠FMN=∠BAM

理由：

∵A、B、M、F四點(diǎn)共圓，

∴∠BAM=∠EFM，

∵∠BAM=∠FMN，

∴∠EFM=∠FMN，

∴MN∥BD，

∴ ，∵CB=DC，

∴CM=CN，

∴MB=DN，

在△ABM和△ADN中，

，

∴△ABM≌△ADN，

∴∠BAM=∠DAN，

∵∠MAN=45°，

∴∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠BAM=22.5°．

【解析】（1）先證明A、B、M、F四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可證明∠AFM=90°，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可解決問(wèn)題．（2）由（1）的結(jié)論即可證明．（3）由：A、B、M、F四點(diǎn)共圓，推出∠BAM=∠EFM，因?yàn)椤螧AM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到 ，推出BM=DN，再證明△ABM≌△ADN即可解決問(wèn)題．本題考查四邊形綜合題、等腰直角三角形性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)解決問(wèn)題，題目有點(diǎn)難，用到四點(diǎn)共圓．