【題目】如圖一,矩形ABCD中,AB=mBC=n,將此矩形繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θθ90°)得到矩形A1BC1D1,點(diǎn)A1在邊CD上.

1)若m=2,n=1,求在旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)D到點(diǎn)D1所經(jīng)過路徑的長(zhǎng)度;

2)將矩形A1BC1D1繼續(xù)繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形A2BC2D2,點(diǎn)D2BC的延長(zhǎng)線上,設(shè)邊A2BCD交于點(diǎn)E,若,求的值.

3)如圖二,在(2)的條件下,直線AB上有一點(diǎn)P,BP=2,點(diǎn)E是直線DC上一動(dòng)點(diǎn),在BE左側(cè)作矩形BEFG且始終保持,設(shè)AB=,試探究點(diǎn)E移動(dòng)過程中,PF是否存在最小值,若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1;(2;(3)存在,

【解析】

1)作A1HABH,連接BDBD1,則四邊形ADA1H是矩形.解直角三角形,求出∠ABA1,得到旋轉(zhuǎn)角即可解決問題;

2)由BCE∽△BA2D2,推出,可得CE=,由推出,推出A1C=,推出BH=A1C=,然后由勾股定理建立方程,解方程即可解決問題;

3)當(dāng)A、PF,D,四點(diǎn)共圓,作PFDF,PFCD相交于點(diǎn)M,作MNAB,此時(shí)PF的長(zhǎng)度為最小值;先證明△FDG∽△FME,得到,再結(jié)合已知條件和解直角三角形求出PMFM的長(zhǎng)度,即可得到PF的最小值.

解:(1)作A1HABH,連接BD,BD1,則四邊形ADA1H是矩形.

AD=HA1=n=1

RtA1HB中,∵BA1=BA=m=2

BA1=2HA1,

∴∠ABA1=30°,

∴旋轉(zhuǎn)角為30°,

BD=

D到點(diǎn)D1所經(jīng)過路徑的長(zhǎng)度=;

2)∵△BCE∽△BA2D2,

,

,

A1C=,

BH=A1C=,

,

m4m2n2=6n4

,

(負(fù)根已舍去).

3)當(dāng)A、P、FD,四點(diǎn)共圓,作PF⊥DF,PFCD相交于點(diǎn)M,作MNAB,此時(shí)PF的長(zhǎng)度為最小值;

由(2)可知,

∵四邊形BEFG是矩形,

,

∵∠DFG+GFM=GFM+MFE=90°,

∴∠DFG=MFE,

DFPF,即∠DFM=90°,

∴∠FDM+GDM=FDM+DFM=FDM+90°,

∴∠FDG=FME,

∴△FDG∽△FME

,

∵∠DFM=90°,,

∴∠FDM=60°,∠FMD=30°,

;

在矩形ABCD中,有,

,則

MNAB,

∴四邊形ANMD是矩形,

MN=AD=3,

∵∠NPM=DMF=30°,

PM=2MN=6,

NP=,

DM=AN=BP=2,

,

;

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)如圖1,求點(diǎn)的坐標(biāo);

2)如圖2,點(diǎn)為拋物線在第一象限上一點(diǎn),連接交對(duì)稱軸于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的長(zhǎng)為,求之間的函數(shù)解析式,不要求寫出自變量的取值范圍;

3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)上一點(diǎn),連接,點(diǎn)上一點(diǎn),連接,,,若,求點(diǎn)橫坐標(biāo)的值.

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1)求拋物線的解析式;

2)如圖1,N為線段MD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以N為等腰三角形頂角頂點(diǎn),NA為腰構(gòu)造等腰NAG,且G點(diǎn)落在直線CM上.若在直線CM上滿足條件的G點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).

3)如圖,點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),點(diǎn)Q為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1,連接PC、AQ.當(dāng)PCAQ時(shí),求SPCQ的值.

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求這次抽查一共抽查了多少名學(xué)生;

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①若,求的度數(shù);

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2)當(dāng),時(shí),

①是含存在點(diǎn)P,使得是等腰三角形,若存在求出所有符合條件的CP的長(zhǎng);

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