Question

已知A（0，6），點B（t，0）是x軸正半軸上的一個動點，連接AB，作BC⊥AB，且BC：AB=1：2．又BD⊥x軸交直線AC于點D．
（1）如圖，用含t的代數式表示點C的坐標及△ABC的面積；
（2）當△ABD為等腰三角形時，求出所有符合條件的點B的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點C作CE⊥OB于E，根據有兩角對應相等的兩三角形相似得出△AOB∽△BEC，列出比例式求出BE=3，EC=t，進而得到點C的坐標；先由勾股定理求出BC²，再根據三角形的面積公式及AB=2BC，得出S_△ABC=BC²；
（2）當△ABD為等腰三角形時，分三種情況：①AD=AB；②AD=BD；③AB=BD．每一種情況，都可以根據兩點間距離公式列出關于t的方程，解方程即可．
解答：解：（1）過點C作CE⊥OB于E．
在△AOB與△BEC中，
∵∠AOB=∠BEC=90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE，
∴△AOB∽△BEC，
∴===2，
即==2，
∴BE=3，EC=t，
∴OE=OB+BE=t+3，
∴點C的坐標為（t+3，t）；
在Rt△BCE中，BC²=CE²+BE²=t²+9，
∵AB⊥BC，AB=2BC，
∴S_△ABC=AB•BC=BC²，
∴S_△ABC=t²+9；

（2）∵A（0，6），C（t+3，t）；
∴直線AC的解析式為y=x+6．
∵點B（t，0），
∴設D（t，t+6），
∴AB²=t²+36，AD²=t²+（t）²，BD²=（t+6）²．
分三種情況：
①當AD=AB時，t²+（t）²=t²+36，（t）²=36，
∴t=6或t=-6，
當t=6時，整理得t²-24t-36=0，
解得t₁=12+6，t₂=12-6（不合題意，舍去），
∴B₁（12+6，0）；
當t=-6時，整理得t²+36=0，
此方程無解；
②當AD=BD時，t²+（t）²=（t+6）²，
整理得t³-3t²+36t-108=0，
∴（t-3）（t²+36）=0，
解得t=3，
∴B₂（3，0）；
③當AB=BD時，t²+36=（t+6）²，
整理得t³+8t²+36t+288=0，
∴（t+8）（t²+36）=0，
解得t=-8（不合題意，舍去）．
綜上可知，符合條件的點B的坐標為B₁（12+6，0），B₂（3，0）．
點評：本題考查了一次函數的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質，三角形的面積，勾股定理，等腰三角形的性質，一次函數解析式的確定，方程的解法等知識，注意（2）中，進行分類討論是解題的關鍵．