Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過的三個頂點，其中點，點，軸，點是直線下方拋物線上的動點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點且與軸平行的直線與直線，分別交于點，，當四邊形的面積最大時，求點的坐標；

（3）當點為拋物線的頂點時，在直線上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與相似，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標是；（3）滿足條件的點有兩個，坐標分別是或.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)平行于x軸的直線上點的縱坐標相等，可得C點的縱坐標，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得C點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AB的解析式，根據(jù)直線上的點滿足函數(shù)解析式，可得E點坐標，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PE的長，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；

（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得∠PCF=∠EAF，根據(jù)相似三角形的判定，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解：（1）把點，的坐標代入，

得，解得.

∴拋物線的解析式是.

（2）∵軸，，

由，解得，（舍），

∴.

設(shè)直線的解析式是，

由，解得.

則直線的解析式是.

設(shè)點的坐標為，

則點的坐標為，.

∵，，

∴

.

又∵，

則當時，四邊形的面積的最大值是，

此時點的坐標是.

（3）由，得頂點的坐標是，此時，，

則在中，，∴.

同理可求，∴，

∴在直線上存在滿足條件的，如圖或.

可求，，，

①當時，設(shè)，

由，得，解得.

②當，設(shè)，

由，得，解得.

綜上，滿足條件的點有兩個，坐標分別是或.