Question

【題目】函數(shù)學(xué)習(xí)中，自變量取值范圍及相應(yīng)的函數(shù)值范圍問題是大家關(guān)注的重點(diǎn)之一，請(qǐng)解決下面的問題．

（1）分別求出當(dāng)2≤x≤4時(shí)，三個(gè)函數(shù)：y＝2x+1，y＝，y＝2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；

（2）若y＝的值不大于2，求符合條件的x的范圍；

（3）若y＝，當(dāng)a≤x≤2時(shí)既無最大值，又無最小值，求a的取值范圍；

（4）y＝2（x﹣m）2+m﹣2，當(dāng)2≤x≤4時(shí)有最小值為1，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）對(duì)于y＝2x+1，當(dāng)x＝2時(shí)，y最小＝5；對(duì)于y＝，當(dāng)x＝2時(shí)，y最大＝1；當(dāng)x＝4時(shí)，y最小＝；對(duì)于y＝2（x﹣1）2+1，當(dāng)x=2時(shí)，y最小＝3，當(dāng)x＝4時(shí)，y最大＝19；（2）x＜0或x≥1；（3）；（4）1或3.

【解析】

（1）根據(jù)k=2＞0結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出：當(dāng)2≤x≤4時(shí)，y=2x+1的最大值和最小值；根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出：當(dāng)2≤x≤4時(shí)，y=2（x-1）2+1的最大值和最小值；

（2）令y=≤2，解之即可得出x的取值范圍；

（3）①當(dāng)k＞0時(shí)，如圖得當(dāng)0＜x≤2時(shí)，得到y=無最大值，有最小值，同理當(dāng)a＜0時(shí)，且a≤x＜0時(shí)，得到y≤有最大值，無最小值，②當(dāng)k＜0時(shí)，如圖得當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=無最小值，有最大值，同理當(dāng)a＜0時(shí)，且a≤x＜0時(shí)，y≤有最小值，無最大值，于是得到結(jié)論；

（4）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三種情況考慮，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合當(dāng)2≤x≤4時(shí)有最小值為1即可得出關(guān)于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出結(jié)論．

解：（1）∵y＝2x+1中k＝2＞0，

∴y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x＝2時(shí)，y最小＝5；當(dāng)x＝4時(shí)，y最大＝9．

∵y＝中k＝2＞0，

∴在2≤x≤4中，y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x＝2時(shí)，y最大＝1；當(dāng)x＝4時(shí)，y最小＝．

∵y＝2（x﹣1）2+1中a＝2＞0，且拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，y最小＝1；但是2≤x≤4，所以當(dāng)x=2時(shí)，y最小＝3，當(dāng)x＝4時(shí)，y最大＝19．

（2）令y＝≤2，

解得：x＜0或x≥1．

∴符合條件的x的范圍為x＜0或x≥1．

（3）①當(dāng)k＞0時(shí)，如圖，

當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y＝無最大值，有最小值，同理當(dāng)a＜0時(shí)，且a≤x＜0時(shí)，y≤有最大值，無最小值，

②當(dāng)k＜0時(shí)，如圖，

當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y＝無最小值，有最大值，同理當(dāng)a＜0時(shí)，且a≤x＜0時(shí)，y≤有最小值，無最大值，∴當(dāng)k＜0，a＜0時(shí)，此時(shí)，y＝既無最大值，又無最小值，綜上所述，a的取值范圍是a＜0；

（4）①當(dāng)m＜2時(shí)，有2（2﹣m）2+m﹣2＝1，

解得：m1＝1，m2＝（舍去）；

②當(dāng)2≤m≤4時(shí)，有m﹣2＝1，

解得：m3＝3；

③當(dāng)m＞4時(shí)，有2（4﹣m）2+m﹣2＝1，

整理得：2m2﹣15m+29＝0．

∵△＝（﹣15）2﹣4×2×29＝﹣7，無解．

∴m的值為1或3．

①當(dāng)k＞0時(shí)，如圖，

當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y＝無最大值，有最小值，同理當(dāng)a＜0時(shí)，且a≤x＜0時(shí)，y≤有最大值，無最小值，

②當(dāng)k＜0時(shí)，如圖得當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y＝無最小值，有最大值，

同理當(dāng)a＜0時(shí)，且a≤x＜0時(shí)，y≤有最小值，無最大值，

∴當(dāng)k＜0，a＜0時(shí)，此時(shí)，y＝既無最大值，又無最小值，

綜上所述，a的取值范圍是a＜0；