Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，點P是線段AC上的動點，點Q是線段CD上的動點，則AQ+QP的最小值是 ．

Answer 1

【答案】4
【解析】解：以CD為軸，將△ACD往上翻轉180°，如圖，

過點A作AE⊥A′C于E點，AE交CD于F點，

當Q與F點重合，P′與E點重合時，AQ+QP=AF+EF=AE最短（直線外一點到這條直線中，垂線段最短），

∵矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，

∴∠A′CD=∠ACD=∠CAB=30°，3

∴∠A′CA=60°，

又∵AC=A′C，

∴△A′CA為等邊三角形，且A′A=2AD=8，

AE=A′Asin∠A′CA=8× =4 ．

故答案為：4 ．

這是一道雙動點問題，以CD為軸，將ACD往上翻轉180°，由已知矩形ABCD中，∠CAB=30°，可以得到∠A′AC=60°，易證得△A′AC是等邊三角形，求出邊A′C上的高，由兩點之間線段最短即可得出結論。也可以作點A關于點D的中心對稱點A′，過點A′作AC的垂線即可。