Question

【題目】如圖1，直線PQ⊥直線MN，垂足為O，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜邊AB與直線PQ交于點C．

（1）若∠A=∠AOC=30°，則BC_______BO（填“＞”“＝”“＜”）；

（2）如圖2，延長AB交直線MN于點E，過O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠AEO=α，求∠AOE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；

（3）如圖3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分線交FO的延長線于點R，∠A=36°，當△AOB繞O點旋轉（斜邊AB與直線PQ始終相交于點C），問∠R的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求其度數(shù)；若改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）；（3）的度數(shù)不變，．

【解析】

（1）由直角三角形兩銳角互余及等角的余角相等得∠BOC＝∠BCO＝60°，可得△BOC是等邊三角形，即可證明；

（2）由直角三角形兩銳角互余、等量代換求得∠DOE；然后由角平分線表示∠BOE，最后利用角的和可得結論；

（3）由角平分線的性質知∠FOM＝∠RON的度數(shù)，從而表示∠COR的度數(shù)，根據(jù)角平分線得∠OCR的度數(shù)，最后利用三角形的內角和定理可得結論．

（1）∵△AOB是直角三角形，

∴∠A＋∠B＝90°，∠AOC＋∠BOC＝90°，

∵∠A＝∠AOC＝30°，

∴∠B＝∠BOC＝60°

∴△BOC是等邊三角形，

∴BC＝BO

故答案為：＝；

（2）∵，

∴

∵

∴

∴

（3）的度數(shù)不變，．理由如下：

設，則∠

又∵平分

∴

∴

∵

∵平分

∴

∴

．

∴的度數(shù)不變，．