Question

【題目】已知拋物線（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求證：拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)；

（2）若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求拋物線的解析式；

（3）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）y=x2+2x﹣3（3）

【解析】試題分析：（1）證明拋物線的對稱軸<0即可證明拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)；
（2）根據(jù)題中已知條件求出m的值，進(jìn)而求得拋物線的解析式；
（3）先設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的x1與x2關(guān)系求出m值，進(jìn)而可求得△ABC的面積．

解：（1）證明：∵m＞0，

∴x=﹣=﹣＜0，

∴拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)；

（2）設(shè)拋物線與x軸交點(diǎn)為A（x1，0），B（x2，0），

則x1+x2=﹣m＜0，x1x2=﹣m2＜0，

∴x1與x2異號，

又∵＞0，

∴OA＞OB，

由（1）知：拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)，

∴x1＜0，x2＞0，

∴OA=|x1|=﹣x1 ，

OB=x2，

代入得： ，

，

從而，

解得m=2，

經(jīng)檢驗(yàn)m=2是原方程的根，

∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3；

（3）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣m2

∴點(diǎn)C（0，﹣ m2），

∵△ABC是直角三角形，

∴AB2=AC2+BC2，

∴（x1﹣x2）2=x12+（﹣m2）2+x22+（﹣m2）2

∴﹣2x1x2=m4

∴﹣2（﹣mspan>2）=m4，

解得m=，

∴S△ABC=×ABOC=|x1﹣x2|｜﹣m2｜=×2m×m2=．