Question

【題目】如圖，經(jīng)過原點的拋物線y=﹣x2+2mx（m＞0）與x軸的另一個交點為A，過點P（1，m）作直線PA⊥x軸于點M，交拋物線于點B．記點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C（點B、C不重合），連接CB、CP．

（I）當m=3時，求點A的坐標及BC的長；

（II）當m＞1時，連接CA，若CA⊥CP，求m的值；

（III）過點P作PE⊥PC，且PE=PC，當點E落在坐標軸上時，求m的值，并確定相對應(yīng)的點E的坐標．

Answer 1

【答案】（I）4；（II） （III）（2，0）或（0，4）

【解析】

（I）當m=3時，拋物線解析式為y=-x2+6x，解方程-x2+6x=0得A（6，0），利用對稱性得到C（5，5），從而得到BC的長；

（II）解方程-x2+2mx=0得A（2m，0），利用對稱性得到C（2m-1，2m-1），再根據(jù)勾股定理和兩點間的距離公式得到（2m-2）2+（m-1）2+12+（2m-1）2=（2m-1）2+m2，然后解方程即可；

（III）如圖，利用△PME≌△CBP得到PM=BC=2m-2，ME=BP=m-1，則根據(jù)P點坐標得到2m-2=m，解得m=2，再計算出ME=1得到此時E點坐標；作PH⊥y軸于H，如圖，利用△PHE′≌△PBC得到PH=PB=m-1，HE′=BC=2m-2，利用P（1，m）得到m-1=1，解得m=2，然后計算出HE′得到E′點坐標．

（I）當m=3時，拋物線解析式為y=﹣x2+6x，

當y=0時，﹣x2+6x=0，解得x1=0，x2=6，則A（6，0），

拋物線的對稱軸為直線x=3，

∵P（1，3），

∴B（1，5），

∵點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C

∴C（5，5），

∴BC=5﹣1=4；

（II）當y=0時，﹣x2+2mx=0，解得x1=0，x2=2m，則A（2m，0），

B（1，2m﹣1），

∵點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C，而拋物線的對稱軸為直線x=m，

∴C（2m﹣1，2m﹣1），

∵PC⊥PA，

∴PC2+AC2=PA2，

∴（2m﹣2）2+（m﹣1）2+12+（2m﹣1）2=（2m﹣1）2+m2，

整理得2m2﹣5m+3=0，解得m1=1，m2=，

即m的值為；

（III）如圖，

∵PE⊥PC，PE=PC，

∴△PME≌△CBP，

∴PM=BC=2m﹣2，ME=BP=2m﹣1﹣m=m﹣1，

而P（1，m）

∴2m﹣2=m，解得m=2，

∴ME=m﹣1=1，

∴E（2，0）；

作PH⊥y軸于H，如圖，

易得△PHE′≌△PBC，

∴PH=PB=m﹣1，HE′=BC=2m﹣2，

而P（1，m）

∴m﹣1=1，解得m=2，

∴HE′=2m﹣2=2，

∴E′（0，4）；

綜上所述，m的值為2，點E的坐標為（2，0）或（0，4）．