將直角邊長(zhǎng)為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上,一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C及點(diǎn)B(-3,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線交AC于點(diǎn)E,連接AP,當(dāng)△APE的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)G,使△AGC的面積與(2)中△APE的最大面積相等?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)已知OA、OC的長(zhǎng),可得A、C的坐標(biāo),即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo),表示出CP的長(zhǎng),由于PE∥AB,可利用相似三角形△CPE∽△CBA,求出△APE的面積表達(dá)式,進(jìn)而可將面積問(wèn)題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的最值問(wèn)題,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到△APE的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).
(3)由于△AGC的面積無(wú)法直接求出,可用割補(bǔ)法求解,過(guò)G作GH⊥x軸于H,設(shè)出G點(diǎn)坐標(biāo),表示出△HGC、梯形AOHG的面積,它們的面積和減去△AOC的面積即可得到△AGC的面積表達(dá)式,然后將(2)題所得△APE的面積最大值代入上式中,聯(lián)立拋物線的解析式即可得到點(diǎn)G的坐標(biāo).
解答:解:(1)如圖,
∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,6),
∴c=6.(1分)
∵拋物線的圖象又經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,0)和(6,0),
,(1分)
解之得,(1分)
故此拋物線的解析式為:y=-x2+x+6.(1分)

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),
則PC=6-m,S△ABC=BC•AO=×9×6=27;(1分)
∵PE∥AB,
∴△CEP∽△CAB;(1分)

=(2,
∴S△CEP=(6-m)2,(1分)
∵S△APC=PC•AO=(6-m)×6=3(6-m),
∴S△APE=S△APC-S△CEP=3(6-m)-(6-m)2=-(m-2+
當(dāng)m=時(shí),S△APE有最大面積為
此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0).(1分)

(3)如圖,過(guò)G作GH⊥BC于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G(a,b),(1分)
連接AG、GC,
∵S梯形AOHG=a(b+6),
S△CHG=(6-a)b,
∴S四邊形AOCG=a(b+6)+(6-a)b=3(a+b).(1分)
∵S△AGC=S四邊形AOCG-S△AOC,
=3(a+b)-18,(1分)
∵點(diǎn)G(a,b)在拋物線y=-x2+x+6的圖象上,
∴b=-a2+a+6,
=3(a-a2+a+6)-18,
化簡(jiǎn),得4a2-24a+27=0,
解之得a1=,a2=;
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(,)或().(1分)
點(diǎn)評(píng):此題涉及到二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法等知識(shí),注意面積問(wèn)題與二次函數(shù)最值問(wèn)題之間的聯(lián)系.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)將直角邊長(zhǎng)為5cm的等腰直角△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后,得到△AB′C′,則圖中陰影部分的面積是
 
cm2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

將直角邊長(zhǎng)為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上,一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C及點(diǎn)B(-3,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線交AC于點(diǎn)E,連接AP,當(dāng)△APE的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)G,使△AGC的面積與(2)中△APE的最大面積相等?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

將直角邊長(zhǎng)為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)精英家教網(wǎng),點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上,一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C及點(diǎn)B(-3,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線交AC于點(diǎn)E,連接AP,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,試用含x的代數(shù)式表示△APE的面積S;
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)G為第一象限內(nèi)的該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),對(duì)于S的一個(gè)確定的值,始終存在點(diǎn)G,滿足△AGC的面積與(2)中△APE的面積相等,求符合題意的點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)將直角邊長(zhǎng)為5cm的等腰直角△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后,得到△AB′C′,則圖中陰影部分的面積是( �。ヽm2
A、12.5
B、
25
3
6
C、
25
3
3
D、不能確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,將直角邊長(zhǎng)為3cm的等腰Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△ADE,ED交AB于點(diǎn)F,則△AEF的面積為
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