【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸負半軸交于點A,與x軸正半軸交于點B,與y軸交于點C.
(1)如圖1,若OB=2OA=2OC
①求拋物線的解析式;
②若M是第一象限拋物線上一點,若cos∠MAC=,求M點坐標.
(2)如圖2,直線EF∥x軸與拋物線相交于E、F兩點,P為EF下方拋物線上一點,且P(m,﹣2).若∠EPF=90°,則EF所在直線的縱坐標是否為定值,請說明理由.
【答案】(1)①y=x2-x-;②M坐標為(,);(2)EF所在直線的縱坐標是定值,理由見解析.
【解析】
(1)①由x=0得到點C坐標為(0,c),故可以用c表示OA、OB進而表示點A、B坐標,把含c的坐標代入拋物線解析式即求得b、c的值;
②過點M作MD⊥AC于點D,得出cos∠MAC=,進而MD=4AD.在MD、AD下方構造等腰直角△MDH和△ADG,則相似比為4.設AD=DG=t,用t表示DH和MH,進而用t表示點M坐標,代入拋物線解析式即求得t的值;
(2) 由點P(m,-2)在拋物線上得c+2=-m2-bm.設點E、F縱坐標為n,代入拋物線解析式根據(jù)韋達定理得xE+xF=-b,xExF=c-n.過點P作PQ⊥EF于點Q,易證△EPQ∽△PFQ,進而得PQ2=EQFQ,用含n、m、xE、xF的式子表示PQ、EQ、FQ解得n=-1,故點E、F縱坐標為定值.
解:(1)①∵x=0時,y=x2+bx+c=c
∴C(0,c),OC=﹣c(c<0)
∴OA=OC=﹣c,OB=2OC=﹣2c
∴A(c,0),B(﹣2c,0)
∵拋物線y=x2+bx+c經過點A、B
∴解得:
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣.
②過點M作MD⊥AC于點D,過點D作GH∥x軸,過點A作AG⊥GH于點G,過點M作MH⊥GH于點H,如圖1所示:
∴∠ADM=∠G=∠H=90°
∴Rt△ADM中,cos∠MAC=
∴AM=AD
∴MD=
∵c=
∴A(,0),B(1,0),C(0,)
∴OA=OC
∴∠OAC=45°
∴∠GAD=∠GAO﹣∠OAC=45°
∴△ADG為等腰直角三角形
∴∠ADG=45°
∴∠MDH=180°﹣∠ADG﹣∠ADM=45°
∴△MDH為等腰直角三角形
設AG=DG=t,則AD=t
∴MD=4AD=t
∴DH=MH=4t
∴xM=xA+t+4t=+5t,yM=4t﹣t=3t
∵點M在拋物線上
∴(+5t)2(+5t)=3t
解得:t1=0(舍去),t2=
∴xM=+=,yM=
∴點M坐標為(,)
故答案為:(,).
(2)EF所在直線的縱坐標是定值,理由如下:
過點P作PQ⊥EF于點Q,如圖2所示:
∵P(m,﹣2)在拋物線上
∴m2+bm+c=﹣2,即c+2=﹣m2﹣bm
∵EF∥x軸且在點P上方
∴xQ=xP=m,設yE=yF=yQ=n,n>﹣2
∴PQ=n﹣(﹣2)=n+2
∵x2+bx+c=n,整理得x2+bx+c﹣n=0
∴xE+xF=﹣b,xExF=c﹣n
∴∠PQE=∠PQF=90°
∵∠EPF=90°
∴∠EPQ+∠FPQ=∠FPQ+∠PFQ=90°
∴∠EPQ=∠PFQ
∴△EPQ∽△PFQ
∴
∴PQ2=EQFQ
∴(n+2)2=(m﹣xE)(xF﹣m)
∴n2+4n+4=mxF﹣m2﹣xExF+mxE
n2+4n+4=m(xE+xF)﹣m2﹣xExF
n2+4n+4=﹣bm﹣m2﹣(c﹣n)
n2+4n+4=c+2﹣c+n
解得:n1=﹣1,n2=﹣2(舍去)
∴EF所在直線的縱坐標為﹣1,是定值.
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【題目】(2016遼寧省葫蘆島市)甲、乙兩車從A城出發(fā)前往B城,在整個行駛過程中,汽車離開A城的距離y(km)與行駛時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示,下列說法正確的有( 。
①甲車的速度為50km/h ②乙車用了3h到達B城
③甲車出發(fā)4h時,乙車追上甲車 ④乙車出發(fā)后經過1h或3h兩車相距50km.
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】如圖,函數(shù)與的圖像在第一象限內交于點A,在求點A坐標時,小明由于看錯了k,解得A(1 , 3);小華由于看錯了m,解得A(1, ).
(1)求這兩個函數(shù)的關系式及點A的坐標;
(2)根據(jù)函數(shù)圖象回答:若,請直接寫出x的取值范圍.
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【題目】某校為調查“停課不停學”期間九年級學生平均每天上網課時長,隨機抽取了名九年級學生做網絡問卷調查.共四個選項:小時以下)、小時)、小時), 小時以上),每人只能選一
項.并將調查結果繪制成如下不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖.
被調查學生平均每天上網課時間統(tǒng)計表
時長 | 所占百分比 |
合計 |
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
, ,
補全條形統(tǒng)計圖;
該校有九年級學生名,請你估計仝校九年級學生平均每天上網課時長在小時及以上的共多少名;
在被調查的對象中,平均每天觀看時長超過小時的,有名來自九班,名來自九班,其余都來自九班,現(xiàn)教導處準備從選項中任選兩名學生進行電話訪談,請用列表法或畫樹狀圖的方法求所抽取的名學生恰好來自同一個班級的概率.
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【題目】如圖,點A、B、C、D是直徑為AB的⊙O上的四個點,CD=BC,AC與BD交于點E。
(1)求證:DC2=CE·AC;
(2)若AE=2EC,求之值;
(3)在(2)的條件下,過點C作⊙O的切線,交AB的延長線于點H,若S△ACH=,求EC之長.
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【題目】如圖,是的直徑,點是上一點,點是的中點,過點作的切線,與、的延長線分別交于點、,連接.
(1)求證:;
(2)直接回答:①已知,當為何值時,?
②連接、、,當等于多少度時,四邊形是菱形?
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【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,將△ABC繞點A逆時針旋轉60°,得到△ADE,若AB=2,∠ACB=30°,則線段CD的長度為______.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4,BC=5,∠ABC=60°. 按以下步驟作圖:①以C為圓心,以適當長為半徑做弧,交CB、CD于M、N兩點;②分別以M、N為圓心,以大于MN的長為半徑作弧,兩弧相交于點E,作射線CE交BD于點O,交AD邊于點F;則BO的長度為( 。
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在平面系中,一次函數(shù)的圖像經過定點A,反比例函數(shù)的圖像經過點A,且與一次函數(shù)的圖像相交于點B(,m).
(1)求m、a的值;
(2)設橫坐標為n的點P在反比例函數(shù)圖象的第三象限上,且在點B右側,連接AP、BP,△ABP的面積為12,求代數(shù)式的值.
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