【題目】拋物線yx2+bx+cx軸負半軸交于點A,與x軸正半軸交于點B,與y軸交于點C

1)如圖1,若OB2OA2OC

求拋物線的解析式;

M是第一象限拋物線上一點,若cosMAC,求M點坐標.

2)如圖2,直線EFx軸與拋物線相交于EF兩點,PEF下方拋物線上一點,且Pm,﹣2).若∠EPF90°,則EF所在直線的縱坐標是否為定值,請說明理由.

【答案】1yx2-x-;M坐標為(,);(2EF所在直線的縱坐標是定值,理由見解析.

【解析】

(1)①由x=0得到點C坐標為(0,c),故可以用c表示OA、OB進而表示點A、B坐標,把含c的坐標代入拋物線解析式即求得b、c的值;

②過點MMDAC于點D,得出cosMAC=,進而MD=4AD.在MD、AD下方構造等腰直角△MDH和△ADG,則相似比為4.設AD=DG=t,用t表示DHMH,進而用t表示點M坐標,代入拋物線解析式即求得t的值;

(2) 由點P(m,-2)在拋物線上得c+2=-m2-bm.設點E、F縱坐標為n,代入拋物線解析式根據(jù)韋達定理得xE+xF=-b,xExF=c-n.過點PPQEF于點Q,易證△EPQ∽△PFQ,進而得PQ2=EQFQ,用含n、mxE、xF的式子表示PQ、EQFQ解得n=-1,故點E、F縱坐標為定值.

解:(1x0時,yx2+bx+cc

C0c),OC=﹣cc0

OAOC=﹣cOB2OC=﹣2c

Ac,0),B(﹣2c,0

∵拋物線yx2+bx+c經過點AB

解得:

∴拋物線的解析式為yx2x.

過點MMDAC于點D,過點DGHx軸,過點AAGGH于點G,過點MMHGH于點H,如圖1所示:

∴∠ADM=∠G=∠H90°

RtADM中,cosMAC

AMAD

MD

c

A,0),B1,0),C0,

OAOC

∴∠OAC45°

∴∠GAD=∠GAO﹣∠OAC45°

∴△ADG為等腰直角三角形

∴∠ADG45°

∴∠MDH180°﹣∠ADG﹣∠ADM45°

∴△MDH為等腰直角三角形

AGDGt,則ADt

MD4ADt

DHMH4t

xMxA+t+4t+5t,yM4tt3t

∵點M在拋物線上

∴(+5t2+5t3t

解得:t10(舍去),t2

xM+,yM

∴點M坐標為(

故答案為:(,).

2EF所在直線的縱坐標是定值,理由如下:

過點PPQEF于點Q,如圖2所示:

Pm,﹣2)在拋物線上

m2+bm+c=﹣2,即c+2=﹣m2bm

EFx軸且在點P上方

xQxPm,設yEyFyQn,n>﹣2

PQn﹣(﹣2)=n+2

x2+bx+cn,整理得x2+bx+cn0

xE+xF=﹣b,xExFcn

∴∠PQE=∠PQF90°

∵∠EPF90°

∴∠EPQ+FPQ=∠FPQ+PFQ90°

∴∠EPQ=∠PFQ

∴△EPQ∽△PFQ

PQ2EQFQ

∴(n+22=(mxE)(xFm

n2+4n+4mxFm2xExF+mxE

n2+4n+4mxE+xF)﹣m2xExF

n2+4n+4=﹣bmm2﹣(cn

n2+4n+4c+2c+n

解得:n1=﹣1,n2=﹣2(舍去)

EF所在直線的縱坐標為﹣1,是定值.

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,

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