Question

【題目】閱讀下列材料，并完成相應的任務：求根分解法是多項式因式分解的一種方法，是用求多項式對應的方程的根分離出多項式的一次因式．

設f（x）是一元多項式，若方程f（x）＝0有一個根為x＝a，則多項式必有一個一次因式x﹣a，于是f（x）＝（x﹣a）g（x）．

例如，設多項式7x2﹣x﹣6為f（x），則有f（x）＝7x2﹣x﹣6，令7x2﹣x﹣6＝0，容易看出，此方程有一根為x＝1，則f（x）必有一個一次因式x﹣1，那么得到7x2﹣x﹣6＝（x﹣1）（mx+n）（m、n為常數）而（x﹣1）（mx+n）＝mx2+（n﹣m）x﹣n，所以7x2﹣x﹣6＝mx2+（n﹣m）x﹣n，由系數對應相等可得m＝7，n＝6，所以7x2﹣x﹣6＝（x﹣1）（7x+6）．

任務：（1）方程x3﹣3x2+4＝0的一根為　 　．

（2）請你根據上面的材料因式分解多項式：x3﹣3x2+4＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）x＝﹣1；（2）（x+1）（x﹣2）2．

【解析】

（1）將進行因式分解，再代入方程中，即可求方程的解；（2）將進行因式分解成（x+1），再將（x+1）運用多項式乘多項式進行展開，根據等式兩邊對應項的系數相等，可以求得m的值；

解：

（1）x3﹣3x2+4＝0，

（x+1）（x﹣2）2＝0，

所以x＝﹣1，

故答案為﹣1．

（2）x3﹣3x2+4＝（x+1）（x﹣m）2

＝（x+1）（x2﹣2mx+m2）

＝x3﹣2mx2+m2x+x2﹣2mx+m2

＝x3+（﹣2m+1）x2+（m2﹣2m）x+m2，

所以﹣2m+1＝﹣3，解得m＝2，

所以因式分解多項式：x3﹣3x2+4＝（x+1）（x﹣2）2，

故答案為（x+1）（x﹣2）2.