Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+bx+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A（-1，0）．過點(diǎn)A作直線y=x+c與拋物線交于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P在直線y=x+c上，從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作直線PQ∥y軸，與拋物線交于點(diǎn)Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）.

（1）直接寫出b，c的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn) E是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，當(dāng)△CBE的面積為6時(shí)，求出點(diǎn)E 的坐標(biāo)；

（3）在線段PQ最長(zhǎng)的條件下，點(diǎn)M在直線PQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)D、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）b=2，c=1，D（2，3）；（2）E(4，-5) ；（3）N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0)

【解析】

（1）將點(diǎn)A分別代入y=-x2+bx+3，y=x+c中求出b、c的值，確定解析式，再解兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式組成的方程組即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2））過點(diǎn)E作EF⊥y軸，設(shè)E（x，-x2+2x+3），先求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再利用面積加減關(guān)系表示出△CBE的面積，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo).

（3）分別以點(diǎn)D、M、N為直角頂點(diǎn)討論△MND是等腰直角三角形時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

（1）將A（-1,0）代入y=-x2+bx+3中，得-1-b+3=0，解得b=2，

∴y=-x2+2x+3，

將點(diǎn)A代入y=x+c中，得-1+c=0，解得c=1，

∴y=x+1，

解，解得，（舍去），

∴D（2,3）.

∴b= 2 ，c= 1 ，D（2,3）.

（2）過點(diǎn)E作EF⊥y軸，

設(shè)E（x，-x2+2x+3）,

當(dāng)y=-x2+2x+3中y=0時(shí)，得-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1（舍去），

∴B(3，0).

∵C(0，3)，

∴，

∴，

解得x1=4,x2=-1（舍去），

∴E(4，-5).

（3）∵A(-1，0),D(2，3),

∴直線AD的解析式為y=x+1,

設(shè)P（m，m+1），則Q（m，-m2+2m+3），

∴線段PQ的長(zhǎng)度h=-m2+2m+3-（m+1）=，

∴當(dāng)=0.5，線段PQ有最大值.

當(dāng)∠D是直角時(shí)，不存在△MND是等腰直角三角形的情形；

當(dāng)∠M是直角時(shí)，如圖1，點(diǎn)M在線段DN的垂直平分線上，此時(shí)N1（2,0）；

當(dāng)∠M是直角時(shí)，如圖2，作DE⊥x軸，M2E⊥HE，N2H⊥HE,

∴∠H=∠E=90,

∵△M2N2D是等腰直角三角形，

∴N2M2=M2D,∠N2M2D=90,

∵∠N2M2H=∠M2DE,

∴△N2M2H≌△M2DE,

∴N2H=M2E=2-0.5=1.5，M2H=DE，

∴E(2，-1.5)，

∴M2H=DE=3+1.5=4.5，

∴ON2=4.5-0.5=4，

∴N2(-4，0)；

當(dāng)∠N是直角時(shí)，如圖3，作DE⊥x軸，

∴∠N3HM3=∠DEN3=90,

∵△M3N3D是等腰直角三角形，

∴N3M3=N3D,∠DN3M3=90，

∵∠DN3E=∠N3M3H，

∴△DN3E≌△N3M3H，

∴N3H=DE=3，

∴N3O=3-0.5=2.5，

∴N3(-2.5，0)；

當(dāng)∠N是直角時(shí)，如圖4，作DE⊥x軸，

∴∠N4HM4=∠DEN4=90,

∵△M4N4D是等腰直角三角形，

∴N4M4=N4D,∠DN4M4=90，

∵∠DN4E=∠N4M4H，

∴△DN4E≌△N4M4H，

∴N4H=DE=3，

∴N4O=3+0.5=3.5，

∴N4(3.5，0)；

綜上，N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0).