已知拋物線y=ax2-2ax+c-1的頂點在直線y=-
83
x+8
上,與x軸相交于B(α,0)、C(β,0)兩點,其中α<β,且α22=10.
(1)求這個拋物線的解析式;
(2)設(shè)這個拋物線與y軸的交點為P,H是線段BC上的一個動點,過H作HK∥PB,交PC于K,連接PH,記線段BH的長為t,△PHK的面積為S,試將S表示成t的函數(shù);
(3)求S的最大值,以及S取最大值時過H、K兩點的直線的解析式.
分析:(1)把頂點A的坐標代入直線的解析式得出c=a+
19
3
,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出c=1-3a,得出方程組,求出方程組的解即可;
(2)求出P、B、C的坐標,BC=4,根據(jù)sin∠BCP=
OP
PC
=
4
5
,和HK∥BP,得出
t
4-t
=
PK
5-PK
,求出PK=
5
4
t,過H作HG⊥PC于G,根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案;
(3)根據(jù)S=-
1
2
(t-2)2+2求出S取最大值,作KK′⊥HC于K′,求出KK′和OK′,得到點K的坐標,設(shè)所求直線的解析式為y=kx+b,代入得到方程組求出即可.
解答:解:(1)由y=ax2-2ax+c-1=a(x-1)2+c-1-a得拋物線的頂點為
A(1,c-1-a).
∵點A在直線y=-
8
3
x+8上,
∴c-1-a=-
8
3
×1+8,
即c=a+
19
3
,①
又拋物線與x軸相交于B(α,0)、C(β,0)兩點,
∴α、β是方程ax2-2ax+c-1=0的兩個根.
∴α+β=2,αβ=
c-1
a
,
又α22=10,即(α+β)2-2αβ=10,
∴4-2×
c-1
a
=10,
即c=1-3a②,
由①②解得:a=-
4
3
,c=5,
∴y=-
4
3
x2+
8
3
x+4,
此時,拋物線與x軸確有兩個交點,
答:這個拋物線解析式為:y=-
4
3
x2+
8
3
x+4.

(2)由拋物線y=-
4
3
x2+
8
3
x+4,
令x=0,得y=4,故P點坐標為(0,4),
令y=0,解得x1=-1,x2=3,
∵α<β,∴B(-1,0),C(3,0),
∴BC=4,又由OC=3,OP=4,得PC=5,sin∠BCP=
OP
PC
=
4
5
,
∵BH=t,∴HC=4-t.
∵HK∥BP,
BH
HC
=
PK
KC
,
t
4-t
=
PK
5-PK
,
∴PK=
5
4
t
如圖,過H作HG⊥PC于G,則HG=HC,精英家教網(wǎng)
sin∠BCP=(4-t)•
4
5
=
4
5
(4-t),
∴S=
1
2
×
5
4
4
5
(4-t)=
1
2
t2+2t,
∵點H在線段BC上且HK∥BP,∴0<t<4.
∴所求的函數(shù)式為:S=-
1
2
t2+2t(0<t<4),
答:將S表示成t的函數(shù)為S=-
1
2
t2+2t(0<t<4).

(3)由S=-
1
2
t2+2t=-
1
2
(t-2)2+2(0<t<4),知:
當t=2(滿足0<t<4)時,S取最大值,其值為2,
此時,點H的坐標為(1,0),
∵HK∥PB,且H為BC的中點,
∴K為PC的中點,
作KK′⊥HC于K′,
則KK′=
1
2
PO=2,OK′=
1
2
CO=
3
2
,
∴點K的坐標為(
3
2
,2),
設(shè)所求直線的解析式為y=kx+b,則
0=k+b
2=
3
2
+b

k=4
b=-4

故所求的解析式為y=4x-4,
答S的最大值是2,S取最大值時過H、K兩點的直線的解析式是y=4x-4.
點評:本題主要考查對二次函數(shù)的最值,用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,解二元一次方程組,解一元一次方程,根與系數(shù)的關(guān)系,銳角三角函數(shù)的定義,平行線分線段成比例定理,三角形的面積等知識點的理解和掌握,能綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵.
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,k=
 

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2
,b+ac=3.
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(3)若直線y2=2x+m經(jīng)過點B,且于該拋物線交于另一點C(
ca
,b+8
),求當x≥1時y1的取值范圍.

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