Question

【題目】直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直線l過點(diǎn) C．

（1）當(dāng)AC=BC時(shí)，如圖1，分別過點(diǎn)A和B作AD⊥直線l于點(diǎn)D，BE⊥直線l于點(diǎn) E．△ACD與△CBE是否全等，并說明理由；

（2）當(dāng)AC=8cm，BC=6cm時(shí)，如圖2，點(diǎn)B與點(diǎn)F關(guān)于直線l對(duì)稱，連接BF、CF．點(diǎn)M是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)N是CF上一點(diǎn)，分別過點(diǎn)M、N作MD⊥直線l于點(diǎn)D，NE⊥直線l于點(diǎn)E，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→C路徑運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為 C．點(diǎn)N從點(diǎn)F出發(fā)，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路徑運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為F．點(diǎn)M、N同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，各自達(dá)到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

①當(dāng)△CMN為等腰直角三角形時(shí)，求t的值；

②當(dāng)△MDC與△CEN全等時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）全等；證明見解析；（2）①3.5秒或5秒；②3.5秒或5秒或6.5秒.

【解析】

（1）根據(jù)垂直的定義得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理證明△ACD≌△CBE；

（2）①分點(diǎn)F沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)F沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)兩種情況，根據(jù)等腰三角形的定義列出算式，計(jì)算即可；

②分點(diǎn)F沿F→C路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿C→F路徑運(yùn)動(dòng)四種情況，根據(jù)全等三角形的判定定理列式計(jì)算．

解：（1）△ACD與△CBE全等．

理由如下：∵AD⊥直線l，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）①由題意得，AM=t，F(xiàn)N=3t，

則CM=8﹣t，

由折疊的性質(zhì)可知，CF=CB=6，

∴CN=6﹣3t，

點(diǎn)N在BC上時(shí)，△CMN為等腰直角三角形，

當(dāng)點(diǎn)F沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，8﹣t=3t﹣6，

解得，t=3.5，

當(dāng)點(diǎn)F沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，8﹣t=18﹣3t，

解得，t=5，

綜上所述，當(dāng)t=3.5秒或5秒時(shí)，△CMN為等腰直角三角形；

②由折疊的性質(zhì)可知，∠BCE=∠FCE，

∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°，

∴∠NCE=∠CMD，

∴當(dāng)CM=CN時(shí)，△MDC與△CEN全等，

當(dāng)點(diǎn)F沿F→C路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，8﹣t=6﹣3t，

解得，t=﹣1（不合題意），

當(dāng)點(diǎn)F沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，8﹣t═3t﹣6，

解得，t=3.5，

當(dāng)點(diǎn)F沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，8﹣t=18﹣3t，

解得，t=5，

當(dāng)點(diǎn)F沿C→F路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，8﹣t=3t﹣18，

解得，t=6.5，

綜上所述，當(dāng)t=3.5秒或5秒或6.5秒時(shí)，△MDC與△CEN全等．