Question

某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價為60元．該廠鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不能低于51元，由于受生產(chǎn)條件限制，訂購數(shù)量不超過600個．
（1）當一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？
（2）設(shè)一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出P與x的函數(shù)表達式；
（3）設(shè)銷售商一次訂購x個時，工廠獲得的利潤為W元，寫出W與x的函數(shù)表達式，并求出當一次訂購多少個時，工廠所獲利潤最大，最大利潤為多少元？

Answer 1

分析：（1）設(shè)訂購量為x個時，出廠單價為51元，根據(jù)等量關(guān)系：降價0.02（x-100）后單價為51可列出方程，解出即可；
（2）需要討論x的范圍，根據(jù)題意將P表示成關(guān)于x的分段函數(shù)．
（3）根據(jù)利潤=單件利潤×數(shù)量，可得出利潤W關(guān)于x的分段函數(shù)，從而根據(jù)每段函數(shù)的增減性及x的范圍即可確定答案．

解答：解：（1）設(shè)訂購量為x個時，出廠單價為51元，
由題意得：60-0.02（x-100）=51，
解得：x=550．
即當一次訂購量為550個時，零件的實際出廠單價恰降為51元；
（2）①當x≤100時，P=60；②當100＜x≤550時，P=-0.02x+62；③當550＜x≤600時，P=51；
綜上可得：P=

60 (x≤100) -0.02x+62(100＜x≤550) 51  (550＜x≤600)

；
（3）W=（P-40）x，
①當x≤100時，P=60，此時W=（60-40）x=20x，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當x=100時，W_max=20×100=2000元；
②當100＜x≤550時，P=-0.02x+62，此時W=（-0.02x+62-40）x=-0.02x²+22x=-0.02（x-550）²+6050，
∴當x=550時，W_max=6050元；
③當550＜x≤600時，P=51，此時W=（51-40）x=11x，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當x=600時，W_max=6600元；
綜上可得W=

20x (0≤x≤100) 0.02x2+22x(100＜x≤550) 11x(550＜x≤600)

，且當x=600時，W取得最大，W_max=6600元．
即當一次性訂購600時，工廠獲得的利潤最大，最大利潤為6600元．

點評：本題屬于二次函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合實際考查了分段函數(shù)、函數(shù)的最值，難度一般，關(guān)鍵是將題意所述的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化成函數(shù)的知識，要求我們認真審題，得出各量之間的聯(lián)系．