Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延長線于點P．

（1）求證：∠BCP=∠BAN

（2）求證：=．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）由AC為⊙O直徑，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根據PC是⊙O的切線，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到結論．

（2）由等腰三角形的性質得到∠ABC=∠ACB，根據圓內接四邊形的性質得到∠PBC=∠AMN，證出△BPC∽△MNA，即可得到結論．

（1）證明：∵AC為⊙O直徑，

∴∠ANC=90°，

∴∠NAC+∠ACN=90°，

∵AB=AC，

∴∠BAN=∠CAN，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠ACP=90°，

∴∠ACN+∠PCB=90°，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠BCP=∠BAN；

（2）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，

∴∠PBC=∠AMN，

由（1）知∠BCP=∠BAN，

∴△BPC∽△MNA，

∴．