Question

11．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，過對角線AC的中點O作EF⊥AC，分別交邊AB，CD于點E，F(xiàn)，連接CE，AF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若EF=4，OF：OA=2：5，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形AECF是平行四邊形，證明FC=FA即可．
（2）求出AC，根據(jù)S_菱形AECF=$\frac{1}{2}$•AC•EF計算即可解決問題．

解答 （1）證明：∵AB∥CF，
∴∠FCO=∠EAO，
∵D是AC中點，
∴OA=OC，
在△COF和△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠EAO}\\{CO=AO}\\{∠COF=∠AOE}\end{array}\right.$，
∴△FCO≌△AEO，
∴OF=OE，∵OC=OA，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵OF⊥AC，OA=OC，
∴FA=FC，
∴四邊形AFCE是菱形．
（2）由（1）可知OE=OF，
∵EF=4，OF：OA=2：5，
∴OF=2，OA=5，
∵AC=2OA，
∴AC=10，
∴S_菱形AECF=$\frac{1}{2}$•AC•EF=$\frac{1}{2}$×10×4=20．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、菱形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握菱形的判定和性質，記住菱形的面積等于對角線乘積的一半，屬于中考�？碱}型．