Question

如圖，把矩形紙片OABC放入直角坐標系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，連接AC，將△ABC翻折，點B落在該坐標平面內，設這個落點為D，CD交x軸于點E，已知CB=8，AB=4．
（1）求AC所在直線的函數關系式；
（2）求點E的坐標和△ACE的面積；
（3）求點D的坐標，并判斷點（8，-4）是否在直線OD上，說明理由．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據已知求得A、C的坐標，然后根據待定系數法即可求解；
（2）首先證明△ACE是等腰三角形，在直角△OCE中利用勾股定理即可求得OE的長，求得E的坐標，進而求得△ACE的面積；
（3）作DF⊥x軸于點F，根據△ADE的面積求得D的縱坐標，然后在直角△ADF中，利用勾股定理求得AF的長，從而求得OF，即可得到D的坐標，然后利用待定系數法求得直線CD的解析式，然后把點（4，-2）代入判斷即可；

解答：解：（1）∵OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，CB=8，AB=4．
∴A（8，0），C（0，4）
設直線AC的解析式為y=kx+b，
∴

8k+b=0 b=4

，
解得

k=- 1 2 b=4

．
∴AC所在直線的函數關系式為y=-

1

2

x+4；
（2）∵矩形OABC中，BC∥OA，
∴∠BCA=∠CAO，
又∵∠BCA=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAO，
∴CE=AE，
設CE=AE=x，則OE=8-x，在直角△OCE中，OC²+OE²=CE²，則4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
則OE=8-5=3，則E的坐標是（3，0）．
則S_△ACE=

1

2

×5×4=10；
（3）如圖，作DF⊥x軸于點F．
S_△ACD=S_△ABC=

1

2

×8×4=16，
則S_△ADE=16-10=6，
又∵S_△ADE=

1

2

AE•DF，則

1

2

×5•DF=6，
∴DF=

12

5

，
在直角△ADF中，AF=

AD2-DF2

=

42-( 12 5 )2

=

16

5

，
則OF=8-

16

5

=

24

5

，
則D的坐標是（

24

5

，-

12

5

），
設直線OD的解析式是y=mx，則

24

5

m=-

12

5

，解得：m=-

1

2

，
則直線OD的解析式是：y=-

1

2

x，
當x=8時，y=-4，則（8，-4）在直線OD上；

點評：本題考查了待定系數法求函數的解析式，以及圖形的折疊的性質和勾股定理的應用，熟練掌握性質和定理是關鍵．