Question

【題目】如圖，A是半徑為12cm的⊙O上的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以2πcm/s的速度沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P回到點(diǎn)A立即停止運(yùn)動(dòng)．

（1）如果∠POA=90°，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（2）如果點(diǎn)B是OA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB=OA，那么當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s時(shí)，判斷直線BP與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3s或9s；（2）直線BP與⊙O相切，理由見解析.

【解析】

（1）當(dāng)∠POA=90°時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的或，所以分兩種情況進(jìn)行分析即可得；

（2）直線BP與⊙O的位置關(guān)系是相切，根據(jù)已知可證得OP⊥BP，即直線BP與⊙O相切．

（1）當(dāng)∠POA=90°時(shí)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可知點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的或，

設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的時(shí)，2πt=2π12，解得t=3；

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的時(shí)，2πt=2π12，解得t=9，

∴當(dāng)∠POA=90°時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3s或9s；

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s時(shí)，直線BP與⊙O相切.理由如下：

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為4πcm，連接OP，PA，

∵半徑AO=12，∴⊙O的周長(zhǎng)為24π，

∴的長(zhǎng)為⊙O周長(zhǎng)的，∴∠POA=60°，

∵OP=OA，∴△OAP是等邊三角形，

∴OP=OA=AP，∠OAP=60°，

∵AB=OA，∴AP=AB，

∵∠OAP=∠APB+∠B，∴∠APB=∠B=30°，

∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，

∴OP⊥BP，∴直線BP與⊙O相切．