(1)觀察發(fā)現(xiàn)

如圖(1):若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè),在直線m上找一點(diǎn)P,使AP+BP的值最小,做法如下:

作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,連接AB′,與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,線段AB′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值.

如圖(2):在等邊三角形ABC中,AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),AD是高,在AD上找一點(diǎn)P,使BP+PE的值最小,做法如下:

作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),恰好與點(diǎn)C重合,連接CE交AD于一點(diǎn),則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+PE的最小值為 .

(2)實(shí)踐運(yùn)用

如圖(3):已知⊙O的直徑CD為2,的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是的中點(diǎn),在直徑CD上作出點(diǎn)P,使BP+AP的值最小,則BP+AP的值最小,求BP+AP的最小值.

(3)拓展延伸

如圖(4):點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M,點(diǎn)N,使△PMN的周長(zhǎng)最小,保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法.

(1) ;(2) ;(3)作圖見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析:(1)觀察發(fā)現(xiàn):利用作法得到CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值;由AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE⊥AB,∠BCE=∠BCA=30°,BE=1,再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=

(2)實(shí)踐運(yùn)用:過(guò)B點(diǎn)作弦BE⊥CD,連結(jié)AE交CD于P點(diǎn),連結(jié)OB、OE、OA、PB,根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE,即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng),則AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值;由于的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是的中點(diǎn)得到∠BOC=30°,∠AOC=60°,所以∠AOE=60°+30°=90°,于是可判斷△OAE為等腰直角三角形,則AE=OA=;

(3)拓展延伸:分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB和BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E和F,然后連結(jié)EF,EF交AB于M、交BC于N.

試題解析:(1)觀察發(fā)現(xiàn)

如圖(2),CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值,

∵在等邊三角形ABC中,AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)

∴CE⊥AB,∠BCE=∠BCA=30°,BE=1,

∴CE=BE=

(2)實(shí)踐運(yùn)用

如圖(3),過(guò)B點(diǎn)作弦BE⊥CD,連結(jié)AE交CD于P點(diǎn),連結(jié)OB、OE、OA、PB,

∵BE⊥CD,

∴CD平分BE,即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng),

的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是的中點(diǎn),

∴∠BOC=30°,∠AOC=60°,

∴∠EOC=30°,

∴∠AOE=60°+30°=90°,

∵OA=OE=1,

∴AE=OA=,

∵AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值.

故答案為

(3)拓展延伸:如圖(4).

考點(diǎn):1.圓的綜合題;2.軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)

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