Question

（2012•桂林）如圖，等圓⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，⊙O₁經(jīng)過⊙O₂的圓心，順次連接A、O₁、B、O₂．
（1）求證：四邊形AO₁BO₂是菱形；
（2）過直徑AC的端點(diǎn)C作⊙O₁的切線CE交AB的延長線于E，連接CO₂交AE于D，求證：CE=2O₂D；
（3）在（2）的條件下，若△AO₂D的面積為1，求△BO₂D的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)⊙O₁與⊙O₂是等圓，可得AO₁=O₁B=BO₂=O₂A，利用四條邊都相等的四邊形是菱形可判定出結(jié)論；
（2）根據(jù)已知得出△ACE∽△AO₂D，進(jìn)而得出

DO2

EC

=

AO2

AC

=

1

2

，即可得出答案；
（3）首先證明△ACD∽△BO₂D，得出

DB

AD

=

BO2

AC

=

1

2

，AD=2BD，再利用等高不等底的三角形面積關(guān)系得出答案即可．

解答：證明：（1）∵⊙O₁與⊙O₂是等圓，
∴AO₁=O₁B=BO₂=O₂A，
∴四邊形AO₁BO₂是菱形；

（2）∵四邊形AO₁BO₂是菱形，
∴∠O₁AB=∠O₂AB，
∵CE是⊙O₁的切線，AC是⊙O₁的直徑，
∴∠ACE=∠AO₂C=90°，
∴△ACE∽△AO₂D，

DO2

EC

=

AO2

AC

=

1

2

，
即CE=2DO₂；

（3）∵四邊形AO₁BO₂是菱形，
∴AC∥BO₂
∴△ACD∽△BO₂D，
∴

DB

AD

=

BO2

AC

=

1

2

，
∴AD=2BD，
∵S△AO2D=1，
∴S△O2DB=

1

2

，

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積關(guān)系和菱形判定等知識，熟練利用相似三角形的判定得出△ACE∽△AO₂D是解題關(guān)鍵．