Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx-7的圖象交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，且A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和4D．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在（2）的拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得∠BAP=45°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象，可得A的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，可得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入方程，并求解可得解析式；

解答 解：（1）因?yàn)锳，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1，4，
所以點(diǎn)A（1，0）．
又因?yàn)辄c(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱軸x=4對(duì)稱，所以點(diǎn)B（7，0）．

（2）∵A（1，0），B（7，0）在拋物線y=ax²+bx-7上
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-7=0}\\{49a+7b-7=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+8x-7；

（3）設(shè)存在P（x，y）使得∠BAP=45°
①P在x軸上方的時(shí)候，作PE⊥x軸于E，則x-1=y
即：x-1=-x²+8x-7
x=6或x=1（舍去）；
②P在x軸下方的時(shí)候，作PF⊥x軸于F，則x-1=-y
即：x-1=-x²+8x-7
x=8或x=-7（舍去）
∴存在點(diǎn)P（6，5）或P（8，-7）使得∠BAP=45°．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查的是用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)知識(shí)，難度不大．