Question

8．己知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，以AC為邊作等邊三角形ACE，直線BE交直線AD于點F，連接FC．
（1）如圖1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE與△ABC在直線AC的異側，且FC交AE于點M．
①求證：∠FEA=∠FCA；
②猜想線段FE，F(xiàn)A，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系，并證明你的結論：
（2）當60°＜∠BAC＜120°，且△ACE與△ABC在直線AC的同側時，利用圖2畫出圖形探究線段FE，F(xiàn)A，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系，并直接寫出你的結論．

Answer 1

分析 （1）①利用中垂線得到∠FBC=∠FCB，從而得到∠FBA=∠FCA，再由等邊三角形的性質得到∠ABF=∠AEF即可；
②先得到∠EFC=∠EAC=60°，從而判斷出∠ACD+∠ACF=30°，進而得出∠FCK=∠ECF，判斷出△CFE≌△CFK，即可；
（2）先判斷出A，E，F(xiàn)，C四點共圓，得出∠EAF=∠ECF，再用直角三角形的性質和等量代換得出∠FCK=∠ECF，判斷出△CFE≌△CFK，即可．

解答 解：（1）①∵AD⊥BC，AB=AC，
∴BD=DC，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠FBA=∠FCA，
∵以AC為邊作等邊三角形ACE，
∴AE=AC=AB，
∴∠ABF=∠AEF，
∴∠ACF=∠AEF，
即：∠FEA=∠FCA；
②結論：EF=2FD-AF，
∵以AC為邊作等邊三角形ACE，
∴∠EAC=60°，
由①有，∠ACF=∠AEF，
∴∠EFC=∠EAC=60°，
由①得，BF=CF，F(xiàn)D⊥BC，
∴∠BFD=∠CFD，
∵∠BFD+∠CFD+∠EFC=180°，
∴∠BFD=∠CFD=$\frac{180°-∠EFC}{2}$=60°，
∴∠FCD=90°-∠CFD=30°，
∴∠ACD+∠ACF=30°，
∴∠ECF=∠ECA-∠ACF=60°-∠ACF=60°-（30°-∠ACD）=30°+∠ACD，
如圖1，

延長AD，在AD上截取AD=DK，連接CK，
∵AD⊥BC，
∴∠ACD=∠KCD，CA=CK
∴∠FCK=∠FCD+∠KCD=∠ACF+∠ACD+∠KCD=30°+∠KCD=30°+∠ACD，
∴∠FCK=∠ECF，
∵AC=CE，AC=CK，
∴CK=CE，
在△CFE和△CFK中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{∠FCE=∠FCK}\\{CE=CK}\end{array}\right.$，
∴△CFE≌△CFK，
∴FE=FK=FD+DK，
∵AD=DK，
∴FE=2FD-AF；
（2）②結論：EF=FA-2FD，
如圖2，延長AD至K，使DK=AD，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴點F在線段BC的垂直平分線上，
∴AF=CF，
∴∠CBF=∠BCF，
∴∠ABF=∠ACF，
∵△ACE是等邊三角形，
∴AE=AC，
∵AB=AC，
∴AB=AE，
∴∠ABF=∠AEB，
∴∠ACF=∠AEB，
∴A，E，F(xiàn)，C四點共圓，
∴∠EAF=∠ECF，
∵∠FCK=∠ACK-∠ACF
=2∠ACD-∠ACF
=2（90°-∠CAD）-∠ACF
=180°-2∠CAD-∠ACF
=180°-2（∠EAC-∠EAF）-∠ACF
=180°-2（60°-2∠EAF）-∠ACF
=60°+2∠EAF-∠ACF
=60°+2∠ECF-（∠ACE+∠ECF）
=60°+2∠ECF-（60°+∠ECF）
=∠ECF
∵AC=CE，AC=CK，
∴CK=CE，
在△CFE和△CFK中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{∠FCE=∠FCK}\\{CE=CK}\end{array}\right.$，
∴△CFE≌△CFK，
∴FE=FK=FD+DK，
∵AD=DK，
∴FE=FA-2FD；

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定，解本題的關鍵是結論∠FCK=∠ECF的判定．作輔助線是解本題的難點．