Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD與BE交于點(diǎn)F，BH⊥AB于點(diǎn)B，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，連接FM并延長(zhǎng)交BH于點(diǎn)H．

（1）在圖①中，∠ABC＝60°，AF＝3時(shí)，FC＝　 　，BH＝　 　；

（2）在圖②中，∠ABC＝45°，AF＝2時(shí)，FC＝　 　，BH＝　 　；

（3）從第（1）、（2）中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？在圖③中，∠ABC＝30°，AF＝1時(shí)，試猜想BH等于多少？并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）3，3；（2）2，2；（3）從第（1）、（2）中發(fā)現(xiàn)AF＝CF＝BH， BH＝1，見(jiàn)解析

【解析】

（1）如圖①連接CF，由垂心的性質(zhì)可得CF⊥AB，可得CF∥BH，由“ASA”可證△BMH≌△CMF，可得BH＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AF＝CF，可得AF＝CF＝BH＝3；

（2）如圖②連接CF，由垂心的性質(zhì)可得CF⊥AB，可得CF∥BH，由“ASA”可證△BMH≌△CMF，可得BH＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AF＝CF，可得AF＝CF＝BH＝2；

（3）如圖③連接CF，由垂心的性質(zhì)可得CF⊥AB，可得CF∥BH，由“ASA”可證△BMH≌△CMF，可得BH＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AF＝CF，可得AF＝CF＝BH＝1．

解：（1）如圖①連接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴CF⊥AB，

∵BH⊥AB，

∴CF∥BH，

∴∠CBH＝∠BCF，

∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

∴BM＝MC，

在△BMH和△CMF中，

，

∴△BMH≌△CMF（ASA），

∴BH＝CF，

∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴BE垂直平分AC，

∴AF＝CF，

∴BH＝AF，

∴AF＝CF＝BH＝3，

（2）如圖②，連接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴CF⊥AB，

∵BH⊥AB，

∴CF∥BH，

∴∠CBH＝∠BCF，

∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

∴BM＝MC，

在△BMH和△CMF中，

∴△BMH≌△CMF（ASA），

∴BH＝CF，

∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴BE垂直平分AC，

∴AF＝CF，

∴BH＝AF，

∴AF＝CF＝BH＝2，

（3）從第（1）、（2）中發(fā)現(xiàn)AF＝CF＝BH；

猜想BH＝1，

理由如下：

如圖③，連接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴CF⊥AB，

∵BH⊥AB，

∴CF∥BH，

∴∠CBH＝∠BCF，

∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

∴BM＝MC，

在△BMH和△CMF中，

∴△BMH≌△CMF（ASA），

∴BH＝CF，

∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴BE垂直平分AC，

∴AF＝CF，

∴BH＝AF，

∴AF＝CF＝BH＝1．