Question

【題目】如圖（1），將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α（0°＜α＜90°）至AC，P是過A，B，C的三點(diǎn)圓上任意一點(diǎn)．

（1）當(dāng)α=30°時(shí)，如圖（1），求證：PC=PA+PB；

（2）當(dāng)α=45°時(shí)，如圖（2），PA，PB，PC三條線段間是否還具有上述數(shù)量關(guān)系？若有，請說明理由；若不具有，請?zhí)剿魉鼈兊臄?shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(2)PC=PA+PB，理由詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）首先在PC上截取PD=PA，易知△ABC是等邊三角形，可得△PAD是等邊三角形，繼而可證明△ACD≌△BAP，則CD=PB，從而得出PC=PB+PA；

（2）PC=PA+PB，作AD⊥AP與PC交于一點(diǎn)D，易證△ACD≌△ABP，則CD=PB，AD=AP，根據(jù)勾股定理PD=PA，所以PC=PA+PB．

試題解析：證明：（1）如圖（1），在PA上截取PD=PA，

∵AB=AC，∠CAB=60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∴∠APC=∠CPB=60°，

∴△APD為等邊三角形，

∴AP=AD=PD，

∴∠ADC=∠APB=120°，

在△ACD和△ABP中，

∠ADC=∠APB，∠ACD=∠ABP，AD=AP，

∴△ACD≌△ABP（AAS），

∴CD=PB，

∵PC=PD+DC，

∴PC=PA+PB；

（2）PC=PA+PB，；理由如下：

如圖（2），作AD⊥AP與PC交于一點(diǎn)D，

∵∠BAC=90°，

∴∠CAD=∠BAP，

在△ACD和△ABP中，

∠CAD=∠BAP，AC=AB，∠ACD=∠ABP，

∴△ACD≌△ABP，

∴CD=PB，AD=AP，

根據(jù)勾股定理PD=PA，

∴PC=PD+CD=PA+PB．