Question

如圖1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，AB與CE交于F，ED與AB、BC分別交于M、H．
（1）試說(shuō)明CF=CH；
（2）如圖2，△ABC不動(dòng)，將△EDC從△ABC的位置繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為多少度時(shí)，四邊形ACDM是平行四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)AC=

2

時(shí)，在（2）的條件下，求四邊形ACDM的面積．

Answer 1

分析：（1）要證明CF=CH，可先證明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠BCD=45°，推出四邊形ACDM是平行四邊形；
（3）由（2）可知四邊形ACDM是平行四邊形，又因?yàn)锳C=CD，所以四邊形ACDM是菱形，利用勾股定理求出邊AC上的高，根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算即可．

解答：（1）證明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°，
在△BCF和△ECH中，
∵

∠B=∠E BC=EC ∠BCE=∠ECH

，
∴△BCF≌△ECH（ASA），
∴CF=CH；

（2）∠BCE=45°時(shí)，四邊形ACDM是平行四邊形，理由如下：
證明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，
∴∠1=∠2=45°．
∵∠E=45°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
∴∠AMH=180°-∠A=135°=∠ACD，
又∵∠A=∠D=45°，
∴四邊形ACDM是平行四邊形；

（3）∵四邊形ACDM是平行四邊形，AC=CD，
∴四邊形ACDM是菱形，
∴AM=AC=

2

，
∵∠A=45°，
∴AC邊上的高=1
∴四邊形ACDM的面積=1×

2

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定和性質(zhì)、菱形的面積公式運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各種圖形的判定和性質(zhì)．