Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），交y軸于點(diǎn)B（0，）．直線y=kx過點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是D．

（1）求拋物線y=x2+bx+c與直線y=kx的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線AD下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線AD于點(diǎn)M，作DE⊥y軸于點(diǎn)E．探究：是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點(diǎn)N，設(shè)△PMN的周長為m，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求m與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣，y=x+；（2）P的坐標(biāo)是（2，﹣3）和（4，﹣）；理由見解析；（3）當(dāng)x=3時(shí)，m的最大值是15，

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于b、c的方程組，通過解方程組可以求得b、c的值；把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，列出關(guān)于k的方程，通過解方程求得k的值；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推知EC=PM．易求點(diǎn)D的坐標(biāo)是（8，7），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，），則CE=6．設(shè)P的坐標(biāo)是（x，x2﹣x﹣），則M的坐標(biāo)是（x，x+），

則PM=（x+）﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x+4，所以由EC=PM得到﹣x2+x+4=6，通過解方程求得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，﹣3）和（4，﹣）；

（3）通過相似三角形△PMN∽△CDE的性質(zhì)推知：=，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入并整理可以得出m與x的函數(shù)關(guān)系式是：m=﹣x2+x+=﹣（x﹣3）2+15，

由拋物線的性質(zhì)可以得到：m有最大值，當(dāng)x=3時(shí)，m的最大值是15．

解：（1）∵y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0）和B（0，）

∴由此得，解得

∴拋物線的解析式是y=x2﹣x﹣；

∵直線y=kx經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0）

∴﹣2k+=0，

解得：k=，

∴直線的解析式是 y=x+；

（2）可求D的坐標(biāo)是（8，7），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，），

∴CE=6，

設(shè)P的坐標(biāo)是（x，x2﹣x﹣），則M的坐標(biāo)是（x，x+）

因?yàn)辄c(diǎn)P在直線AD的下方，

此時(shí)PM=（x+）﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x+4，

由于PM∥y軸，要使四邊形PMEC是平行四邊形，必有PM=CE，

即﹣x2+x+4=6

解這個(gè)方程得：x1=2，x2=4，

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣3，

當(dāng)x=4時(shí)，y=﹣，

因此，直線AD下方的拋物線上存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PMEC是平行四邊形，

點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，﹣3）和（4，﹣）；

（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC==10

∴△CDE的周長是24，

∵PM∥y軸，∴∠PMN=∠DCE，

∵∠PNM=∠DEC=90°，∴△PMN∽△CDE，

∴=，即 =，

化簡整理得：m與x的函數(shù)關(guān)系式是：m=﹣x2+x+，

m=﹣x2+x+=﹣（x﹣3）2+15，

∵﹣＜0，

∴m有最大值，當(dāng)x=3時(shí)，m的最大值是15．