Question

【題目】如果一條拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”，［a，b，c］稱為“拋物線系數(shù)”．

（1）任意拋物線都有“拋物線三角形”是______（填“真”或“假”）命題；

（2）若一條拋物線系數(shù)為［1，0，－2］，則其“拋物線三角形”的面積為________；

（3）若一條拋物線系數(shù)為［－1，2b，0］，其“拋物線三角形”是個直角三角形，求該拋物線的解析式；

（4）在（3）的前提下，該拋物線的頂點為A，與x軸交于O，B兩點，在拋物線上是否存在一點P，過P作PQ⊥x軸于點Q，使得△BPQ∽△OAB，如果存在，求出P點坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）假；（2）；（3）y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3）或（－1，1）．

【解析】（1）當△＞0時，拋物線與x軸有兩個交點，由此可得出結論；

（2）根據(jù)“拋物線三角形”定義得到，由此可得出結論；

（3）根據(jù)“拋物線三角形”定義得到y＝－x2＋2bx，它與x軸交于點（0，0）和（2b，0）；

當拋物線三角形是直角三角形時，根據(jù)對稱性可知它一定是等腰直角三角形，

由拋物線頂點為（b，b2），以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，解方程即可得到結論；

（4）分兩種情況討論：①當拋物線為y＝－x2＋2x 時，②當拋物線為y＝－x2－2x 時．

（1）當△＞0時，拋物線與x軸有兩個交點，此時拋物線才有“拋物線三角形”，故此命題為假命題；

（2）由題意得：，令y=0，得：x=，∴ S==；

（3）依題意：y＝－x2＋2bx，它與x軸交于點（0，0）和（2b，0）；

當拋物線三角形是直角三角形時，根據(jù)對稱性可知它一定是等腰直角三角形．

∵y＝－x2＋2bx=，∴頂點為（b，b2），由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到：，∴，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，

∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．

（4）①當拋物線為y＝－x2＋2x 時．

∵△AOB為等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，

∴△BPQ為等腰直角三角形，設P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），

則｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即．

∵a－2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1， －3）．

②當拋物線為y＝－x2－2x 時．

∵△AOB為等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，

∴△BPQ為等腰直角三角形，設P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），

則｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即．

∵a+2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．

綜上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．