Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB為⊙O直徑，AC＝CD，連接AD交BC于點M，延長MC到N，使CN＝CM．

（1）判斷直線AN是否為⊙O的切線，并說明理由；

（2）若AC＝10，tan∠CAD＝，求AD的長．

Answer 1

【答案】(1)是 (2)16

【解析】（1）由MC=CN，且得出AC垂直于MN，則△AMN是等腰三角形，所以∠CAN=∠DAC，再由AC=DC，則∠D=∠DAC，根據同弧所對的圓周角相等得出∠B=∠D，從而得出∠B=∠NAC，即可得出∠BAN=90°；

（2）等腰三角形ACD中，兩腰AC=CD=10，且已知底角正切值，過點C作CE⊥AD，底邊長AD可以求出來．

（1）直線AN是⊙O的切線，理由是：

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

∵CN=CM，

∴∠CAN=∠DAC，

∵AC=CD，

∴∠D=∠DAC，

∵∠B=∠D，

∴∠B=∠NAC，

∵∠B+∠BAC=90°，

∴∠NAC+∠BAC=90°，

∴OA⊥AN，

又∵點A在⊙O上，

∴直線AN是⊙O的切線；

（2）過點C作CE⊥AD，

∵tan∠CAD= ，

∴ ，

∵AC=10，

∴設CE=3x，則AE=4x，

在Rt△ACE中，根據勾股定理，CE2+AE2=AC2，

∴（3x）2+（4x）2=100，

解得x=2，

∴AE=8，

∵AC=CD，

∴AD=2AE=2×8=16．