Question

如圖，點A，B，C在一條直線上，△ABD，△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點M，P，CD交BE于點Q，連接PQ，下面結論：

①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ為等邊三角形；④PQ∥AC．

其中結論正確的有（　�。�

A．1個  B．2個   C．3個  D．4個

　

　

Answer 1

D【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質．

【分析】①由等邊三角形的性質得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可證出△ABE≌△DBC；

②由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根據三角形外角的性質得出∠DMA=60°；

③由ASA證明△ABP≌△DBQ，得出對應邊相等BP=BQ，即可得出△BPQ為等邊三角形；

④推出△BPQ是等邊三角形，得到∠PBQ=60°，根據平行線的性質即可得到PQ∥AC，故④正確．

【解答】解：∵△ABD、△BCE為等邊三角形，

∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，

∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，

在△ABE和△DBC中，

∵，

∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴①正確；

∵△ABE≌△DBC，

∴∠BAE=∠BDC，

∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，

∴②正確；

在△ABP和△DBQ中，

∵，

∴△ABP≌△DBQ（ASA），

∴BP=BQ，

∴△BPQ為等邊三角形，

∴③正確；

∵BP=BQ，∠PBQ=60°，

∴△BPQ是等邊三角形，

∴∠PQB=60°，

∴∠PQB=∠QBC，

∴PQ∥AC，

故④正確．

故選D．

【點評】此題考查了等邊三角形的判定與性質與全等三角形的判定與性質，平行線的判定和性質，此題圖形比較復雜，解題的關鍵是仔細識圖，找準全等的三角形．