Question

請閱讀下列材料：
圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等．即如圖1，若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA•PB=PC•PD．請你根據(jù)以上材料，解決下列問題．

已知⊙O的半徑為2，P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OP=1，過點(diǎn)P任作-弦AC，過A、C兩點(diǎn)分別作⊙O的切線m和n，作PQ⊥m于點(diǎn)Q，PR⊥n于點(diǎn)R．（如圖2）
（1）若AC恰經(jīng)過圓心O，請你在圖3中畫出符合題意的圖形，并計(jì)算：

1

PQ

+

1

PR

的值；
（2）若OP⊥AC，請你在圖4中畫出符合題意的圖形，并計(jì)算：

1

PQ

+

1

PR

的值；
（3）若AC是過點(diǎn)P的任一弦（圖2），請你結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，猜想：

1

PQ

+

1

PR

的值，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）由于AC過圓心，那么Q，A重合，R，C重合，可根據(jù)OP和半徑的長求出PA，PC的長，即PQ，PR的長．由此可得出所求的結(jié)論；
（2）連接OA，不難得出OA∥PQ，那么可得出∠OAP=∠APQ，可先在直角三角形OAP中，求出∠OAP的度數(shù)和AP的長，進(jìn)而可在直角三角形APQ中求出PQ的長，同理可求出PR的長，即可求出所求的結(jié)論；（本題還可通過證△ADP和△PAQ相似，得出

1

PQ

的值，同理可連接CD得出

1

PR

的值）
（3）本題要通過相似三角形來求解．過點(diǎn)A作直徑交⊙O于點(diǎn)E，連接EC，通過相似三角形△AEC∽△PAQ，得出關(guān)于AC，PQ，AE，AP的比例關(guān)系式，同理可求出AC，PR，AE，PC的比例關(guān)系式，兩式聯(lián)立可得出

1

PQ

+

1

PR

的表達(dá)式，然后根據(jù)相交弦定理即可證得所求的結(jié)論．
（第二種證法和（2）的第二種求法完全相同．）

解答：解：（1）AC過圓心O，且m，n分別切⊙O于點(diǎn)A，C，
∴AC⊥m于點(diǎn)A，AC⊥n于點(diǎn)C．
∵PQ⊥m于點(diǎn)Q，PR⊥n于點(diǎn)R，
∴Q與A重合，R與C重合．
∵OP=1，AC=4，
∴PQ=1，PR=3，
∴

1

PQ

+

1

PR

=1+

1

3

=

4

3

．

（2）連接OA，
∵OP⊥AC于點(diǎn)P，且OP=1，OA=2，
∴∠OAP=30°．
∴AP=

3

．
∵OA⊥直線m，PQ⊥F直線m，
∴OA∥PQ，∠PQA=90°．
∴∠APQ=∠OAP=30°．
在Rt△AQP中，PQ=

3

2

，同理，PR=

3

2

，
∴

1

PQ

+

1

PR

=

2

3

+

2

3

=

4

3

．

（3）猜想

1

PQ

+

1

PR

=

4

3

．
證明：過點(diǎn)A作直徑交⊙O于點(diǎn)E，連接EC，
∴∠ECA=90°．
∵AE⊥直線m，PQ⊥直線，
∴AE∥PQ且∠PQA=90°．
∴∠EAC=∠APQ．
∴△AEC∽△PAQ．
∴

AC

PQ

=

AE

AP

①
同理可得：

AC

PR

=

AE

PC

②
①+②，得：

AC

PQ

+

AC

PR

=

AE

AP

+

AE

PC

∴

1

PQ

+

1

PR

=

AE

AC

（

1

AP

+

1

PC

）
=

AE

AC

•

PC+AP

AP•PC

=

AE

AP•PC

．
過P作直徑交⊙O于M，N，
根據(jù)閱讀材料可知：AP•PC=PM•PN=3，
∴

1

PQ

+

1

PR

=

4

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形和相交弦定理的應(yīng)用，根據(jù)相似三角形得出與所求相關(guān)的線段成比例是解題的關(guān)鍵．