Question

7．如圖所示，△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，AE是∠CAF的平分線且∠CAF是△ABC的一個外角，且DE∥BA，四邊形ADCE是矩形嗎？為什么？

Answer 1

分析 由角平分線定義得：∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC和∠CAE=∠FAE=$\frac{1}{2}$∠FAC，則∠DAE=90°，再證明∠AEC=∠ECB=90°，由三個角是直角的四邊形是矩形得出結論．

解答 解：是矩形；理由如下：
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵AE是∠BAC的外角的平分線，
∴∠CAE=∠FAE=$\frac{1}{2}$∠FAC，
∵∠BAC+∠FAC=180°，
∴∠DAC+∠EAC=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
即∠DAE=90°，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠B+∠ACB=∠FAE+∠CAE，
∴∠FAE=∠B，
∴AE∥BC，
∴∠AEC+∠ECB=180°，
∴∠ECB=90°，
∴∠DAE=∠AEC=∠ECB=90°，
∴四邊形ADCE是矩形．

點評 本題考查了角平分線的定義、等腰三角形的性質及矩形的判定，角平分線可以將一個角分成兩個相等的角，同時要熟知等邊對等角，掌握矩形的判定：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形；本題利用了第②種判定方法判定四邊形ADCE是矩形．