Question

【題目】綜合題

（1）問(wèn)題
如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b．
填空：當(dāng)點(diǎn)A位于時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為（用含a，b的式子表示）
（2）應(yīng)用
點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．
①請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段，并說(shuō)明理由；
②直接寫(xiě)出線段BE長(zhǎng)的最大值．
（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）CB的延長(zhǎng)線上,a+b
（2）解：①CD=BE，

理由：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即∠CAD=∠EAB，

在△CAD與△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB（SAS），

∴CD=BE；

②∵線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值，

∴由（1）知，當(dāng)線段CD的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，

∴最大值為BD+BC=AB+BC=4

（3）解：如圖1，連接BM，

∵將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，則△APN是等腰直角三角形，

∴PN=PA=2，BN=AM，

∵A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），

∴OA=2，OB=5，

∴AB=3，

∴線段AM長(zhǎng)的最大值=線段BN長(zhǎng)的最大值，

∴當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，

最大值=AB+AN，

∵AN= AP=2 ，

∴最大值為2 +3；

如圖2，過(guò)P作PE⊥x軸于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE=AE= ，

∴OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣ =2﹣ ，

∴P（2﹣ ， ）

【解析】解：（1）∵點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b，

∴當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，

故答案為：CB的延長(zhǎng)線上，a+b；

（1）根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，即可得到結(jié)論。
（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE；
②由于線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果。
（3）連接BM，將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得PN=PA，BN=AM，根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，即可得到最大值；過(guò)P作PE⊥x軸于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論。