Question

如圖是二次函數(shù)y=（x+m）²+k的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，﹣4）．

（1）求出圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使S_△PAB=S_△MAB？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）點(diǎn)C在x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊作正方形BCDE，正方形BCDE還有一個(gè)頂點(diǎn)（除點(diǎn)B外）在拋物線上，請(qǐng)寫出滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（4）將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b與此圖象至少有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出b的取值范圍是　      　．

Answer 1

 解：（1）∵M(jìn)（1，﹣4）是二次函數(shù)y=（x+m）²+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)，

∴y=（x﹣1）²﹣4=x²﹣2x﹣3，

當(dāng)x²﹣2x﹣3=0，解得x₁=﹣1，x₂=3．

∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）在二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，使

設(shè)p（x，y），則，又，

∴2|y|=×8，即y=±5，    ∵二次函數(shù)的最小值為﹣4，   ∴y=5．

當(dāng)y=5時(shí)，x=﹣2或x=4．  ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，5）或（4，5）；

（3）不妨設(shè)點(diǎn)E在拋物線y=x²﹣2x﹣3上，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0）．

當(dāng)BC為正方形BCDE的邊時(shí)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m²﹣2m﹣3）．

∵四邊形BCDE是正方形，

∴BC=DE，      ∴|m﹣3|=|m²﹣2m﹣3|，  即m﹣3=m²﹣2m﹣3，或m﹣3=﹣（m²﹣2m﹣3），

解得m₁=0，m₂=3，或m₁=﹣2，m₂=3，

當(dāng)m=3時(shí)，C點(diǎn)與B點(diǎn)重合，不合題意，舍去，

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）或（﹣2，0），則B₁（3，4），B₂（3，﹣4），

（4）如圖3，依題意知，當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，翻折后的拋物線的解析式為：y=﹣x²+2x+3

與直線y=x+b與新拋物線有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，﹣x²+2x+3=x+b，即x²﹣x﹣3﹣b=0，

則△=（﹣1）²﹣4×（﹣3﹣b）=0，    解得 b=

當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過A（﹣1，0）時(shí)﹣1+b=0，可得b=1，

由題意可知y=x+b在y=x+1的下方．由圖可知符合題意的b的取值范圍1≤b≤．