Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，此時PD=3．

（1）求MP的值；

（2）在AB邊上有一個動點F，且不與點A，B重合．當(dāng)AF等于多少時，△MEF的周長最小？

（3）若點G，Q是AB邊上的兩個動點，且不與點A，B重合，GQ=2．當(dāng)四邊形MEQG的周長最小時，求最小周長值．（計算結(jié)果保留根號）

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）7+5．

【解析】

試題分析：（1）由折疊的性質(zhì)可得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，利用勾股定理可得答案；（2）先找到使三角形MEF的周長最小的F點，如圖1，做點M關(guān)于AB的對稱點M′，連接M′E交AB于點F，則點F即為所求，過點E作EN⊥AD，垂足為N，由（1）可得AM，利用勾股定理可得ME和NM′，由△AFM′∽△NEM′，利用相似三角形的性質(zhì)可得AF；（3）由題意可知，ME,QG的長度是個定值，當(dāng)四邊形MEQG的周長最小時，QE與GM的長度和最小，如圖2，由（2）知點M′是點M關(guān)于AB的對稱點，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點G，再過點E作EQ∥RG，交AB于點Q，由平行四邊形的判定定理可得四邊形ERGQ為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得QE=GR，由垂直平分線的性質(zhì)易得GM=GM′，可得此時MG+EQ最小，于是四邊形MEQG的周長最小，在Rt△M′RN中，易得NR，M′R，從而得到四邊形MEQG的最小周長值．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=4，∠D=90°，∵矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，∴=5；（2）如圖1，

做點M關(guān)于AB的對稱點M′，連接M′E交AB于點F，則點F即為所求，過點E作EN⊥AD，垂足為N，∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，∴AM=AM′=4，∵矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，∴∠CEP=∠MEP，∠CEP=∠MPE，∴∠MEP=∠MPE，∴ME=MP=5；在Rt△ENM中，MN===3，∴NM′=11，∵AF∥NE，∴△AFM′∽△NEM′，∴=，即，解得：AF=，即AF=時，△MEF的周長最��；（3）如圖2，

由（2）知點M′是點M關(guān)于AB的對稱點，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點G，再過點E作EQ∥RG，交AB于點Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四邊形ERGQ是平行四邊形，∴QE=GR，∵GM=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此時MG+EQ最小，四邊形MEQG的周長最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，M′R==5，∵ME=5，GQ=2，∴四邊形MEQG的最小周長值=5+2+5=7+5．